Komplexní čísla

Číselné obory

= Množina čísel uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení

  • Přirozená čísla (N\N)
  • Celá čísla (Z\Z)
  • Racionální čísla (Q\mathbb{Q})
  • Reálná čísla (R\R)
  • Komplexní čísla (C\mathbb{C})

Vlastnosti číselých operací

Příklad – sčítání

  • Komutativnost:

    a+b=b+aa + b = b + a

  • Asociativnost:

    (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)

  • Distributivnost:

    a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

Předpokládejme, že i2=−1→i^2 = -1 \to můžeme řešit rovnice s D<0D < 0

Př.:

x2+1=0x2=−1\begin{align*} x^2 + 1 &= 0 \\[0.5em] x^2 &= -1 \end{align*}

Př.:

x2+9=0x2=−9x=±3i\begin{align*} x^2 + 9 &= 0 \\[0.5em] x^2 &= -9 \\[0.5em] x &= \plusmn 3i \end{align*}

Chybějící zápis ze dne 29. 11. 2023

Absolutní hodnota komplexního čísla

Definice:

z=a+bi  ⟹  ∣z∣=z⋅z‾=a2+b2z = a + bi \implies |z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}

Platí:

∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\begin{align*} |z_1 \cdot z_2| &= |z_1| \cdot |z_2| \\[0.5em] \left| \frac{z_1}{z_2} \right| &= \frac{|z_1|}{|z_2|} \end{align*}

Komplexní jednotka

= Jakékoliv zz, pro které platí ∣z∣=1|z| = 1

Geometrické zobrazení komplexních čísel

Gaussova rovina = rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexních čísel

Osa xx je reálná osa, osa yy je imaginární osa

Číslo z=a+biz = a + bi znázorníme jako bod (a,b)(a, b)

Absolutní hodnota komplexního čísla udává vzdálenost komplexního čísla v Gaussově rovině od OxyO_{xy}

Goniometrický tvar komplexního čísla

Argument komplexního čísla = orientovaný úhel, který v Gaussově rovině svírá spojnice komplexního čísla a počátku s kladnou částí osy xx – značí se

Argument ... φ\varphi

Vzdálenost ... ∣z∣|z|

sin⁡(φ)=b∣z∣cos⁡(φ)=a∣z∣b=∣z∣⋅sin⁡(φ)a=∣z∣⋅cos⁡(φ)z=∣z∣(cos⁡(φ)+isin⁡(φ))\begin{align*} \sin(\varphi) &= \frac{b}{|z|} \\[0.5em] \cos(\varphi) &= \frac{a}{|z|} \\[1.5em] b &= |z| \cdot \sin(\varphi) \\[0.5em] a &= |z| \cdot \cos(\varphi) \\[1.5em] z &= |z| \left( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) \right) \end{align*}

Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru

z1=∣z1∣(cos⁡(φ1)+isin⁡(φ1))z2=∣z2∣(cos⁡(φ2)+isin⁡(φ2))z1⋅z2=∣z1∣⋅∣z2∣(cos⁡(φ1)cos⁡(φ2)+icos⁡(φ1)sin⁡(φ2)+icos⁡(φ2)sin⁡(φ1)−sin⁡(φ1)sin⁡(φ2))=∣z1z2∣(cos⁡(φ1+φ2)+isin⁡(φ1+φ2))z1z2=∣z1∣(cos⁡(φ1)+isin⁡(φ1))∣z2∣(cos⁡(φ2)+isin⁡(φ2))⋅cos⁡(φ2)−isin⁡(φ2)cos⁡(φ2)−isin⁡(φ2)=∣z1∣∣z2∣(cos⁡(φ1)cos⁡(φ2)−icos⁡(φ1)sin⁡(φ2)+icos⁡(φ2)sin⁡(φ1)+sin⁡(φ1)sin⁡(φ2))=∣z1∣∣z2∣(cos⁡(φ1−φ2)+isin⁡(φ1−φ2))\begin{align*} z_1 &= |z_1| \left( \cos(\varphi_1) + i \sin(\varphi_1) \right) \\[0.5em] z_2 &= |z_2| \left( \cos(\varphi_2) + i \sin(\varphi_2) \right) \\[1em] z_1 \cdot z_2 &= |z_1| \cdot |z_2| \left( \cos(\varphi_1) \cos(\varphi_2) + i \cos(\varphi_1) \sin(\varphi_2) + i \cos(\varphi_2) \sin(\varphi_1) - \sin(\varphi_1) \sin(\varphi_2) \right) \\[0.5em] &= |z_1 z_2| \left( \cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2) \right) \\[1em] \frac{z_1}{z_2} &= \frac{|z_1| \left( \cos(\varphi_1) + i \sin(\varphi_1) \right)}{|z_2| \left( \cos(\varphi_2) + i \sin(\varphi_2) \right)} \cdot \frac{\cos(\varphi_2) - i \sin(\varphi_2)}{\cos(\varphi_2) - i \sin(\varphi_2)} \\[1em] &= \frac{|z_1|}{|z_2|} \left( \cos(\varphi_1) \cos(\varphi_2) - i \cos(\varphi_1) \sin(\varphi_2) + i \cos(\varphi_2) \sin(\varphi_1) + \sin(\varphi_1) \sin(\varphi_2) \right) \\[1em] &= \frac{|z_1|}{|z_2|} \left( \cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2) \right) \end{align*}

Umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru

zn=∣z∣n(cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ)), n∈Zz^n = |z|^n \left( \cos(n \varphi) + i \sin(n \varphi) \right), \ n \in \Z

Moivreova věta ∣z∣=1|z| = 1:

∣z∣=1  ⟹  zn=cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ)|z| = 1 \implies z^n = \cos(n \varphi) + i \sin(n \varphi)