Tělesa

Hranoly

Části hranolu:

  • Podstavy = 2 shodné rovnoběžné mnohoúhelníky
  • Boční stěny = rovnoběžníky

Boční stěny dohromady tvoří plášť hranolu

Výška hranolu / Tělesová výška = vzdálenost podstav

Další pojmy: stěnová výška, stěnové úhlopříčky, tělesové úhlopříčky

Hranoly se dělí na konvexní a nekonvexní, dále na kolmé a kosé/šikmé

V=Sp⋅vS=2Sp+Spl\begin{align*} V &= S_\text{p} \cdot v \\[0.5em] S &= 2 S_\text{p} + S_\text{pl} \end{align*}

Speciální případ – kvádr:

V=abcS=2(ab+ac+bc)\begin{align*} V &= abc \\[0.5em] S &= 2(ab + ac + bc) \end{align*}

Speciální případ – krychle:

V=a3S=6a2\begin{align*} V &= a^3 \\[0.5em] S &= 6a^2 \end{align*}

Jehlany

nn-boký jehlan

Podstava je mnohoúhelník, boční stěny jsou trojúhelníky

Hlavní vrchol + vrcholy v podstavě

Výška jehlanu, stěnová výška

Trojboký jehlan = čtyřstěn

V=13Sp⋅vS=Sp+Spl\begin{align*} V &= \frac{1}{3} S_\text{p} \cdot v \\[0.5em] S &= S_\text{p} + S_\text{pl} \end{align*}

Komolý jehlan – rovina rovnoběžná s podstavou rozdělí jehlan a komolý jehlan

Obsah a objem komolého jehlanu:

V=13v(S1+S1S2+S2)S=S1+S2+Spl\begin{align*} V &= \frac{1}{3} v (S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2) \\[0.5em] S &= S_1 + S_2 + S_\text{pl} \end{align*}

Mnohostěny

Povrch je tvořen mnohoúhelníky

Každá strana je současně stranou ještě právě jednoho sousedního mnohoúhelníku

Žádné 2 sousední stěny neleží v 1 rovině

Deltastěny = mnohostěny, jejichž stěny jsou jen rovnostranné trojúhelníky

Dělení: konvexní, nekonvexní

Síť mnohostěnu = povrch mnohostěnu v rovině – vznikne 1 rovinný obrazec

Platí tzv. Eulerova věta:

v+s=h+2v + s = h + 2

vv ... počet vrcholů

ss ... počet stěn

hh ... počet hran

Platónská tělesa

= Mnohostěny, jejichž stěny tvoří pouze pravidelné mnohoúhelníky a z každého vrcholu vychází stejný počet hran a stěn

Existuje pouze 5 platónských těles:

  1. Čtyřstěn (tetraedr):

    V=a3212S=a23\begin{align*} V &= a^3 \frac{\sqrt{2}}{12} \\[0.5em] S &= a^2 \sqrt{3} \end{align*}

  2. Krychle (hexaedr)

  3. Osmistěn (oktaedr):

    V=a323S=2a23\begin{align*} V &= a^3 \frac{\sqrt{2}}{3} \\[0.5em] S &= 2a^2 \sqrt{3} \end{align*}

  4. Dvanáctistěn (dodekaedr)

  5. Dvacetistěn (ikosaedr)

Duální mnohostěny: krychle s osmistěnem, dvanáctistěn s dvacetistěnem

Archimédovská tělesa

= Polopravidelné mnohostěny

Složeny z více druhů pravidelných mnohoúhelníků, v každém vrcholu se vyskytují ve stejném pořadí

Existuje 16 typů archimédovských těles, např.:

  • Kolmý nn-boký hranol (nn-boká prisma)
  • Klín
  • Obelisk

Rotační tělesa

  • Válec:

    Vznikne rotací obdélníku (příp. čtverce) kolem osy, na které leží jeho strana

    2 kruhové rovnoběžné podstavy →\to poloměr kruhu = poloměr válce

    Plášť válce →\to výška

    Osový řez obsahuje osu válce

    V=Sp⋅vV=πr2vS=2Sp+SplS=2πr2+2πrv\begin{align*} V &= S_\text{p} \cdot v \\[0.5em] V &= \pi r^2 v \\[0.5em] S &= 2 S_\text{p} + S_\text{pl} \\[0.5em] S &= 2 \pi r^2 + 2 \pi r v \end{align*}

  • Kužel:

    Vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem osy, na které leží jeho odvěsna

    Vrchol kužele

    Kruhová podstava →\to poloměr podstavy

    Hrana kužele = kružnice tvořící hranici podstavy

    Plášť kužele tvoří kruhovou výseč

    V=13SpvV=13πr2vS=Sp+SplS=πr2+πrs\begin{align*} V &= \frac{1}{3} S_\text{p} v \\[0.75em] V &= \frac{1}{3} \pi r^2 v \\[0.75em] S &= S_\text{p} + S_\text{pl} \\[0.5em] S &= \pi r^2 + \pi r s \end{align*}

    Využíváme Pythagorovu větu:

    s2=v2+r2s^2 = v^2 + r^2

  • Komolý kužel:

    Rovina rovnoběžná s podstavou

    V=13πv(r12+r1r2+r22)S=πr12+πr22+πs(r1+r2)\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi v (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \\[0.5em] S &= \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi s (r_1 + r_2) \end{align*}