Metrické vlastnosti v prostoru

= Odchylky, vzdálenosti

Odchylka přímek

Odchylka různoběžek p,qp, q je velikost ostrého nebo pravého úhlu, který přímky svírají

Odchylka rovnoběžek je 0°0°

Odchylka mimoběžek a,ba, b je rovna odchylce různoběžek c,dc, d, kde c∥a,d∥bc \parallel a, d \parallel b

∣∢pq∣=90°  ⟺  p⊥q|\sphericalangle pq| = 90° \iff p \perp q

Kolmost přímky a roviny

p⊥ρ  ⟺  p \perp \rho \iff přímka pp je kolmá ke všem přímkám roviny ρ\rho

Daným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici

Kritérium rovnosti přímky a roviny

p⊥ρ  ⟺  p \perp \rho \iff přímka pp je kolmá ke dvěma různoběžkám a,ba, b, které leží v rovině ρ\rho

Kolmý průmět bodu do roviny

Kolmý průmět bodu AA do roviny ρ\rho = pata kolmice vedené z bodu AA k rovině ρ\rho

Kolmý průmět do roviny útvaru

= Množina kolmých průmětů všech bodů daného útvaru

Kolmost rovin

2 roviny α,β\alpha, \beta jsou kolmé (α⊥β\alpha \perp \beta)   ⟺  \iff v jedné z rovin leží přímka pp kolmá k druhé rovině

Rovina ρ\rho je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám α,β  ⟺  \alpha, \beta \iff rovina ρ\rho je kolmá k průsečnici rovin α\alpha a β\beta

Odchylka přímky a roviny

∣∢pρ∣=90°  ⟺  p⊥ρ|\sphericalangle p\rho| = 90° \iff p \perp \rho

Jinak je ∣∢pρ∣|\sphericalangle p\rho| odchylka přímky pp a jejího kolmého průmětu do roviny ρ\rho

Odchylka dvou rovin

∣∢αβ∣=∣∢ab∣|\sphericalangle \alpha\beta| = |\sphericalangle ab|

Přímky a,ba, b jsou průsečnice rovin α,β\alpha, \beta s rovinou kolmou k oběma rovinám

Vzdálenosti v prostoru

Vzdálenost bodu od roviny

Značí se ∣Mρ∣|M \rho|

= Vzdálenost bodu MM od jeho kolmého průmětu do roviny

∣Mρ∣=∣MM′∣|M \rho| = |MM'|

Postup

  1. Najdeme pomocnou rovinu ω\omega takovou, že M∈ω∧ω⊥ρM \in \omega \land \omega \perp \rho
  2. Najdeme průsečnici rr rovin ρ\rho a ω\omega
  3. M′M' leží na rr
  4. Najdeme vhodný trojúhelník

Vzdálenost přímky od roviny

Přímka leží v rovině, nebo ji protíná →∣pρ∣=0\to |p \rho| = 0

Přímka je rovnoběžná s rovinou →\to vzdálenost libovolného bodu přímky od roviny

Vzdálenost 2 rovin

Roviny jsou různoběžné, nebo splývají →0\to 0

Roviny jsou rovnoběžné →\to vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od roviny druhé

Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost bodu MM od bodu PP, pro který platí:

P=p∩ρρ:ρ⊥p, M∈p\begin{align*} P &= p \cap \rho \\[0.5em] \rho &: \rho \perp p, \ M \in p \end{align*}

Vzdálenost 2 přímek

Přímky jsou totožné, nebo různoběžné →0\to 0

Přímky jsou rovnoběžné →\to vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé

Přímky jsou mimoběžné →\to vzdálenost jejich průsečíků s jejich osou

Osa mimoběžek = přímka kolmá k oběma mimoběžkám a různoběžná s nimi