Rovnice s parametrem

Př.:

3x+5=0−x+5=00x+5=020x+5=0  ⟹  px+5=0p=0→x∈∅p≠0→x=−5p\begin{align*} 3x + 5 &= 0 \\ -x + 5 &= 0 \\ 0x + 5 &= 0 \\ 20x + 5 &= 0 \end{align*} \implies \begin{align*} px + 5 &= 0 \\ p = 0 &\to x \in \varnothing \\ p \neq 0 &\to x = -\frac{5}{p} \end{align*}

= Rovnice, ve které se kromě neznámé vyskytuje další proměnná (= parametr), který má význam konstanty (obvykle ∈R\in \R)

Řešení: Diskuze, jak závisí kořen rovnice na hodnotě parametru

V zadání musí být řečeno, co je neznámá a co je parametr

Lineární rce s parametrem

  1. Pokud rce obsahuje lomený výraz, stanovíme podmínky

  2. Neznámou převedeme na jednu stranu, vše ostatní na druhou stranu

  3. Vytkneme neznámou na jednu stranu

  4. Provedeme diskuzi vzhledem k parametru

  5. Zkontrolujeme podmínky

  6. Závěr →\to tabulka hodnot neznámé vzhledem k parametru

Př.:

xx ... neznámá

pp ... parametr

p2x+2p=6+9xp2x−9x=6−2px(p2−9)=6−2pp=3:0=0x∈Rp=−3:0≠12x∈∅p≠±3x=6−2pp2−9x=2(3−p)(p+3)(p−3)x=−2p+3\begin{align*} p^2x + 2p &= 6 + 9x \\[1em] p^2x - 9x &= 6 - 2p \\ x(p^2 - 9) &= 6 - 2p \\[1em] p &= 3: \\ 0 &= 0 \\ x &\in \R \\[1em] p &= -3: \\ 0 &\neq 12 \\ x &\in \varnothing \\[1em] p &\neq \plusmn 3 \\ x &= \frac{6 - 2p}{p^2 - 9} \\ x &= \frac{2(3 - p)}{(p + 3)(p - 3)} \\ x &= -\frac{2}{p + 3} \end{align*}

  ⟹  \implies

ppKK
33R\R
−3-3∅\varnothing
R∖{±3}\R \setminus \{\plusmn 3\}{−2p+3}\left\{-\frac{2}{p + 3}\right\}

Kvadratická rce s parametrem

Př.:

xx ... neznámá pp ... parametr

px+2p=4+5xp2+2x=4px+5p2x−4px=5p−p2x(2−4p)=5p−p2p=12:0≠94x∈∅p≠12x=5p−p22−4pp(5−p)2−4p≠0\begin{align*} \frac{p}{x} + \frac{2}{p} &= 4 + \frac{5}{x} \\[1em] p^2 + 2x &= 4px + 5p \\ 2x - 4px &= 5p - p^2 \\ x(2 - 4p) &= 5p - p^2 \\[1em] p &= \frac{1}{2}: \\[0.5em] 0 &\neq \frac{9}{4} \\ x &\in \varnothing \\[1em] p &\neq \frac{1}{2} \\ x &= \frac{5p - p^2}{2 - 4p} \\ \frac{p(5 - p)}{2 - 4p} &\neq 0 \\ \end{align*}
ppKK
0,12,50, \frac{1}{2}, 5∅\varnothing
R∖{0,12,5}\R \setminus \left\{0, \frac{1}{2}, 5\right\}{5p−p22−4p}\left\{\frac{5p - p^2}{2 - 4p}\right\}

  1. Podmínky (pokud rce obsahuje lomené výrazy)

  2. Dáme vše na levou stranu

  3. Diskuze – zkoumáme koeficient u kvadratického členu (pokud je 00, pak se nejedná o kvadratickou rovnici) a diskriminant (zda je >0> 0, <0< 0, nebo =0= 0)

  4. Řešení porovnáme s podmínkami

  5. Závěr – tabulka

Př.:

xx ... neznámá pp ... parametr

px2−9=0p=0:0−9=0x∈∅p≠0:px2=9x2=9pp<0:x∈∅p>0:x=±3pp\begin{align*} px^2 - 9 &= 0 \\[1em] p &= 0{:} \\ 0 - 9 &= 0 \\ x &\in \varnothing \\[1em] p &\neq 0{:} \\ px^2 &= 9 \\ x^2 &= \frac{9}{p} \\[1em] p &< 0{:} x &\in \varnothing \\[1em] p &> 0{:} \\ x &= \plusmn \frac{3\sqrt{p}}{p} \end{align*}
ppKK
(−∞;0⟩(-\infin; 0\rangle∅\varnothing
(0;∞)(0; \infin){±3pp}\left\{ \plusmn \frac{3\sqrt{p}}{p} \right\}

Př.:

xx ... neznámá pp ... parametr

px2+6x−15=0p=0:6x−15=06x=15x=52p≠0:D=36+60pD=60(p+35)p=−35:x=−6−65x=5p<−35:x∈∅p>−35:x1,2=−6±60p+362px1,2=−3±15p+9p\begin{align*} px^2 + 6x - 15 &= 0 \\[1em] p &= 0{:} \\ 6x - 15 &= 0 \\ 6x &= 15 \\ x &= \frac{5}{2} \\[1em] p &\neq 0{:} \\ D &= 36 + 60p \\ D &= 60(p + \frac{3}{5}) \\[1em] p &= -\frac{3}{5}{:} \\[0.5em] x &= \frac{-6}{-\frac{6}{5}} \\[0.5em] x &= 5 \\[1em] p &< -\frac{3}{5}{:} \\ x &\in \varnothing \\[1em] p &> -\frac{3}{5}{:} \\[0.5em] x_{1,2} &= \frac{-6 \plusmn \sqrt{60p + 36}}{2p} \\ x_{1,2} &= \frac{-3 \plusmn \sqrt{15p + 9}}{p} \end{align*}
ppKK
00{52}\left\{ \frac{5}{2} \right\}
−35-\frac{3}{5}{5}\{ 5 \}
(−∞;−35)(-\infin; -\frac{3}{5})∅\varnothing
(−35;∞)∖{0}(-\frac{3}{5}; \infin) \setminus \{ 0 \}{−3±15p+9p}\left\{ \frac{-3 \plusmn \sqrt{15p + 9}}{p} \right\}