Rce a nerce s absolutní hodnotou

= Rce a nerce s neznámou v absolutní hodnotě

Př.:

∣x−3∣=4x≥0:x−3=4x=7x<0:3−x=4x=−1K={−1;7}\begin{align*} |x - 3| &= 4 \\[1em] x &\ge 0: \\ x - 3 &= 4 \\ x &= 7 \\[1em] x &\lt 0: \\ 3 - x &= 4 \\ x &= -1 \\[1em] K &= \{-1; 7\} \end{align*}

Př.:

∣1+x∣+∣3x−2∣=4−2xNuloveˊ body: −1,23x∈(−∞;−1⟩:−1−x−3x+2=4−2x−2x=3x=−32x∈(−1;23⟩:1+x−3x+2=4−2x3≠4x∈(23;∞)1+x+3x−2=4−2x6x=5x=56K={−32;56}\begin{align*} |1 + x| + |3x - 2| &= 4 - 2x \\[1em] \text{Nulové body}&{:} \space {-1}, \frac{2}{3} \\[1em] x &\in (-\infin; -1\rangle{:} \\ -1 - x - 3x + 2 &= 4 - 2x \\ -2x &= 3 \\ x &= -\frac{3}{2} \\[1em] x &\in \left(-1; \frac{2}{3}\right\rangle{:} \\ 1 + x - 3x + 2 &= 4 - 2x \\ 3 &\neq 4 \\[1em] x &\in \left(\frac{2}{3}; \infin\right) \\ 1 + x + 3x - 2 &= 4 - 2x \\ 6x &= 5 \\ x &= \frac{5}{6} \\[1em] K &= \left\{-\frac{3}{2}; \frac{5}{6}\right\} \end{align*}

Př.:

∣1−2x∣+5∣x+2∣=2∣x+2∣≠0x≠−2∣1−2x∣+5=2∣x+2∣x∈(−∞;−2)1−2x+5=−2x−46≠−4x∈(−2;12⟩1−2x+5=2x+42=4xx=12x∈(12;∞)−1+2x+5=2x+44=4x∈(12;∞)K=⟨12;∞)\begin{align*} \frac{|1 - 2x| + 5}{|x + 2|} &= 2 \\[1em] |x + 2| &\neq 0 \\ x &\neq -2 \\[1em] |1 - 2x| + 5 &= 2|x + 2| \\[1em] x &\in (-\infin; -2) \\ 1 - 2x + 5 &= -2x - 4 \\ 6 &\neq -4 \\[1em] x &\in \left(-2; \frac{1}{2}\right\rangle \\ 1 - 2x + 5 &= 2x + 4 \\ 2 &= 4x \\ x &= \frac{1}{2} \\[1em] x &\in \left(\frac{1}{2}; \infin\right) \\ -1 + 2x + 5 &= 2x + 4 \\ 4 &= 4 \\ x &\in \left(\frac{1}{2}; \infin\right) \\[1em] K &= \left\langle\frac{1}{2}; \infin\right) \end{align*}

Postup

  1. Nalezneme nulové body absolutních hodnot →\to intervaly

  2. "Odstraníme" absolutní hodnoty, řešíme v jednotlivých intervalech

  3. Sjednotíme jednotlivé výsledky