Mějme orientovaný úhel o velikosti $\alpha$ s počátečním ramenem v kladné části osy $x$ a koncovým ramenem protínajícím jednotkovou kružnici v bodě $K[x_k, y_k]$

\begin{align*} \sin(\alpha) &= y_k \\ \cos(\alpha) &= x_k \end{align*}

$\to$ Každému reálnému číslu přiřazuje funkce sinus $y$ -ovou souřadnici bodu $K$ a kosinus $x$ -ovou souřadnici bodu $K$

Tabulkové hodnoty sinu a kosinu

$\alpha$	$\alpha \ [\text{rad}]$	$\sin(\alpha)$	$\cos(\alpha)$
$0°$	$0$	$0$	$1$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$

Pomůcka: $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Vlastnosti sinu a kosinu

Sinus je lichá funkce, kosinus je sudá funkce:

\begin{align*} \sin(- \alpha) &= -\sin(\alpha) \\ \cos(- \alpha) &= \cos(\alpha) \end{align*}

Sinus a kosinus jsou periodické funkce s periodou $2\pi$ :

\begin{align*} \forall k \in \Z : \sin(\alpha) &= \sin(\alpha + k \cdot 2\pi) \\ \forall k \in \Z : \cos(\alpha) &= \cos(\alpha + k \cdot 2\pi) \\ \end{align*}

Po převrácení úhlu $\alpha$ přes osu $y$ zůstává hodnota sinu stejná, po převrácení přes osu $x$ zůstává stejná hodnota kosinu:

\begin{align*} \sin(\alpha) &= \sin(\pi - \alpha) \\ \cos(\alpha) &= \cos(2\pi - \alpha) \end{align*}

Sinus úhlu $\alpha$ je roven kosinu doplňkovému úhlu k $\alpha$ (a naopak):

\begin{align*} \sin(\alpha) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\[0.5em] \cos(\alpha) &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \end{align*}

Platí Pythagorova věta:

\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1

Příklad využití vlastností sinu a kosinu

Př.:

\begin{align*} \cos(-1020°) &= \cos(1020°) \\ &= \cos(300° + 2 \cdot 360°) \\ &= \cos(300°) \\ &= \cos(360° - 300°) \\ &= \cos(60°) \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}

Př.:

\begin{align*} \sin(-480°) &= -\sin(480°) \\ &= -\sin(120° + 1 \cdot 360°) \\ &= -\sin(120°) \\ &= -\sin(180° - 120°) \\ &= -\sin(60°) \\ &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

17. 3. 2023

Funkce tangens, kotangens

\begin{align*} y &= \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\[1em] y &= \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{align*}

Definiční obory:

\begin{align*} D(\tan) &= \R \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \Z \right\} \\[0.5em] D(\cot) &= \R \setminus \left\{ k\pi \mid k \in \Z \right\} \end{align*}

Tangens ... tečna jednotkové kružnice v bodě $[1; 0]$

Kotangens ... tečna jednotkové kružnice v bodě $[0; 1]$

Tabulkové hodnoty tangens a kotangens

$\alpha$	$\alpha \ [\text{rad}]$	$\tan(\alpha)$	$\cot(\alpha)$
$0°$	$0$	$0$	nelze
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$1$	$1$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	nelze	$0$

Vlastnosti tangens a kotangens

Tangens a kotangens jsou periodické funkce s periodou $\pi$ :

\begin{align*} \forall k \in \Z : \tan(\alpha) &= \tan(\alpha + k \cdot \pi) \\ \forall k \in \Z : \cot(\alpha) &= \cot(\alpha + k \cdot \pi) \\ \end{align*}

27. 3. 2023

Funkce sekans, kosekans

\begin{align*} y &= \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \\[0.5em] y &= \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \end{align*}

Cyklometrické funkce

= Funkce inverzní ke goniometrickým funkcím

Název: před název příslušné goniometrické funkce umístíme "arkus"

\begin{align*} \arcsin(x) &= \text{asin}(x) = \sin^{-1}(x) \\ \arccos(x) &= \text{acos}(x) = \cos^{-1}(x) \\ \arctan(x) &= \text{atan}(x) = \tan^{-1}(x)\\ \text{arccot}(x) &= \text{acot}(x) = \cot^{-1}(x) \\ \text{arcsec}(x) &= \text{asec}(x) = \sec^{-1}(x) \\ \text{arccsc}(x) &= \text{acsc}(x) = \csc^{-1}(x) \end{align*}

Definiční obor je omezen na obor hodnot funkce původní

Např.:

D(\arcsin) = \langle -1; 1 \rangle

Obor hodnot je omezen na definiční obor prostého úseku nejblíže počátku funkce původní

Např.:

H(\arcsin) = \left\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right\rangle