Goniometrické rovnice a nerovnice

Goniometrické rovnice

Neznámá je argument goniometrické funkce

Př.:

sin⁡(x)=−12x1=76π+2kπ, k∈Zx2=116π+2kπ, k∈Z\begin{align*} \sin(x) &= -\frac{1}{2} \\[1em] x_1 &= \frac{7}{6}\pi + 2k\pi, \ k \in \Z \\[0.5em] x_2 &= \frac{11}{6}\pi + 2k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

cos⁡(x)=32x1=π6+2kπ, k∈Zx2=116π+2kπ, k∈Z\begin{align*} \cos(x) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\[1em] x_1 &= \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \ k \in \Z \\[0.5em] x_2 &= \frac{11}{6}\pi + 2k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

tan⁡(x)=1x=π4+kπ, k∈Z\begin{align*} \tan(x) &= 1 \\[0.5em] x &= \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

cot⁡(x)=−3x=56π+kπ, k∈Z\begin{align*} \cot(x) &= -\sqrt{3} \\[0.5em] x &= \frac{5}{6}\pi + k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

sin⁡(x)=0x=kπ, k∈Z\begin{align*} \sin(x) &= 0 \\[0.5em] x &= k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

sin⁡(x)=2K=∅\begin{align*} \sin(x) &= 2 \\[0.5em] K &= \varnothing \end{align*}

Př.:

tan⁡(x)=2x=arctan⁡(2)+kπ, k∈Z\begin{align*} \tan(x) &= 2 \\[0.5em] x &= \arctan(2) + k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

sin⁡(x)−2=−sin⁡(x)2sin⁡(x)=2sin⁡(x)=22x1=π4+2kπ, k∈Zx2=34π+2kπ, k∈Z\begin{align*} \sin(x) - \sqrt{2} &= -\sin(x) \\[0.5em] 2\sin(x) &= \sqrt{2} \\ \sin(x) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\[1em] x_1 &= \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ k \in \Z \\[0.5em] x_2 &= \frac{3}{4}\pi + 2k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Př.:

sin⁡(3x−18°)=−22u=3x−18°u1=225°+k⋅360°, k∈Zu2=315°+k⋅360°, k∈Z3x1−18°=225°+k⋅360°, k∈Z3x2−18°=315°+k⋅360°, k∈Z3x1=243°+k⋅360°, k∈Z3x2=333°+k⋅360°, k∈Zx1=81°+k⋅120°x2=111°+k⋅120°\begin{align*} \sin(3x - 18°) &= -\frac{\sqrt{2}}{2} \\[0.5em] u &= 3x - 18° \\ u_1 &= 225° + k \cdot 360°, \ k \in \Z \\ u_2 &= 315° + k \cdot 360°, \ k \in \Z \\[0.5em] 3x_1 - 18° &= 225° + k \cdot 360°, \ k \in \Z \\ 3x_2 - 18° &= 315° + k \cdot 360°, \ k \in \Z \\[0.5em] 3x_1 &= 243° + k \cdot 360°, \ k \in \Z \\ 3x_2 &= 333° + k \cdot 360°, \ k \in \Z \\[0.5em] x_1 &= 81° + k \cdot 120° \\ x_2 &= 111° + k \cdot 120° \end{align*}

Př.:

−cos⁡(3x)=1u=3xcos⁡(u)=−1u=π+2kπ, k∈Zx=π3+23kπ, k∈Z\begin{align*} -\cos(3x) &= 1 \\[0.5em] u &= 3x \\ \cos(u) &= -1 \\ u &= \pi + 2k\pi, \ k \in \Z \\[0.5em] x &= \frac{\pi}{3} + \frac{2}{3}k\pi, \ k \in \Z \end{align*}

Goniometrické nerovnice

Př.:

sin⁡(x)≥32x∈⋃k∈Z⟨π3+2kπ, 23π+2kπ⟩\begin{align*} \sin(x) &\ge \frac{\sqrt{3}}{2} \\[0.5em] x &\in \bigcup_{k \in \Z} \left\langle \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ \frac{2}{3}\pi + 2k\pi \right\rangle \end{align*}

Př.:

2−2cos⁡(x)>1−2cos⁡(x)>−1cos⁡(x)<12x∈⋃k∈Z(π3+2kπ, 53π+2kπ)\begin{align*} 2 - 2\cos(x) &> 1 \\[0.5em] -2\cos(x) &> -1 \\ \cos(x) &< \frac{1}{2} \\[0.5em] x &\in \bigcup_{k \in \Z} \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ \frac{5}{3}\pi + 2k\pi \right) \end{align*}

Př.:

tan⁡(x)2≥1tan⁡(x)≥2x∈⋃k∈Z⟨arctan⁡(2)+kπ, π2+kπ)\begin{align*} \frac{\tan(x)}{2} &\ge 1 \\[0.5em] \tan(x) &\ge 2 \\[0.5em] x &\in \bigcup_{k \in \Z} \left\langle \arctan(2) + k\pi, \ \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \end{align*}

Goniometrické rovnice v součinovém tvaru

Př.:

cot⁡(2x)⋅sin⁡(x+10°)=02x1=π2+kπx1=π4+k⋅π2x1=45°+k⋅90°x2+10°=k⋅180°x2=−10°+k⋅180°x2=170°+k⋅180°\begin{align*} \cot(2x) \cdot \sin(x + 10°) &= 0 \\[1em] 2x_1 &= \frac{\pi}{2} + k \pi \\[0.5em] x_1 &= \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2} \\[0.5em] x_1 &= 45° + k \cdot 90° \\[1em] x_2 + 10° &= k \cdot 180° \\ x_2 &= -10° + k \cdot 180° \\ x_2 &= 170° + k \cdot 180° \end{align*}