Iracionální rovnice

Obsahuje výraz s neznámou pod odmocninou

Postup řešení

  1. Odmocninu převedeme na jednu stranu, zbytek rovnice na druhou stranu, nebo podle situace
  2. Umocníme (důsledková úprava) – pozor na dvojčleny, vícečleny
  3. Řešíme nebo znovu umocníme
  4. Zkouška
  5. Zapíšeme řešení

Př.:

x+2=−3K=∅\begin{align*} \sqrt{x + 2} &= -3 \\[1em] K &= \varnothing \end{align*}

Př.:

x−1+3=xx−1=x−3x−1=x2−6x+9x2−7x+10=0(x−5)(x−2)=0Zkousˇka:x=2L1=4P1=2L1≠P1x=5L2=5P2=5L2=P2K={5}\begin{align*} \sqrt{x - 1} + 3 &= x \\[1em] \sqrt{x - 1} &= x - 3 \\ x - 1 &= x^2 - 6x + 9 \\ x^2 - 7x + 10 = 0 \\ (x - 5)(x - 2) = 0 \\[1em] \text{Zkouška:} \\ x &= 2 \\ L_1 &= 4 \\ P_1 &= 2 \\ L_1 &\neq P_1 \\[1em] x &= 5 \\ L_2 &= 5 \\ P_2 &= 5 \\ L_2 &= P_2 \\[1em] K &= \{5\} \end{align*}

Př.:

22+x+2−4x=104(2+x)+42+x2−4x+2−4x=108+4x+42+x2−4x+2−4x=102+x2−4x=0(2+x)(2−4x)=0−4(x+2)(x−12)=0Zkousˇka:x=−2L1=20+2+8=10P1=10L1=P1x=12L2=252+0=10P2=10L2=P2K={−2,12}\begin{align*} 2\sqrt{2 + x} + \sqrt{2 - 4x} &= \sqrt{10} \\[1em] 4(2 + x) + 4\sqrt{2 + x}\sqrt{2 - 4x} + 2 - 4x &= 10 \\ 8 + 4x + 4\sqrt{2 + x}\sqrt{2 - 4x} + 2 - 4x &= 10 \\ \sqrt{2 + x}\sqrt{2 - 4x} &= 0 \\ (2 + x)(2 - 4x) &= 0 \\ -4(x + 2)(x - \frac{1}{2}) &= 0 \\[1em] \text{Zkouška:} \\ x &= -2 \\ L_1 &= 2\sqrt{0} + \sqrt{2 + 8} = \sqrt{10} \\ P_1 &= \sqrt{10} \\ L_1 &= P_1 \\[1em] x &= \frac{1}{2} \\ L_2 &= 2\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{0} = \sqrt{10} \\ P_2 &= \sqrt{10} \\ L_2 &= P_2 \\[1em] K &= \left\{-2, \frac{1}{2}\right\} \end{align*}

Př.:

2−2x2−4x+4=−x2−4x+4+xx2−4x+4=2−xx2−4x+4=x2−4x+40=0Podmıˊnka:2−x=∣x−2∣x≤2K=(−∞,2⟩\begin{align*} 2 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 4} &= -\sqrt{x^2 - 4x + 4} + x \\[1em] \sqrt{x^2 - 4x + 4} &= 2 - x \\ x^2 - 4x + 4 &= x^2 - 4x + 4 \\ 0 &= 0 \\[1em] \text{Podmínka:} \\ 2 - x &= |x - 2| \\ x &\le 2 \\[1em] K &= (-\infin, 2\rangle \end{align*}