Dělitel a násobek

Dělitel a násobek

$a$ je dělitelem $b \Longleftrightarrow$ existuje $b \in N; b = a ⋅ k$

Zápis dělitelnosti: $a \mid b$

Zápis nedělitelnosti: $a \nmid b$

Množina všech dělitelů čísla $a$ - $D(a) = \{1, ..., a\}$

Množina všech násobků čísla $a$ - $n(a) = \{a, ...\}$

Příklad:

Dělitelnost

Číslo $1$ je dělitelem každého přirozeného čísla

Každé přirozené číslo je dělitelem sama sebe

Zjištění dělitelnosti

$2$ - Číslo končí sudou číslici
$4$ - Poslední dvojčíslí je dělitelné $4$ (stejné pravidlo u $20, 25, 50$)
$8$ - Poslední trojčíslí je dělitelné $8$
$5$ - Číslo končí $0$ nebo $5$
$10$ - Číslo končí $0$
$3$ - Ciferný součet čísla je dělitelný $3$
$9$ - Ciferný součet čísla je dělitelný $9$

Důkaz:

První část $9 ⋅ (5 ⋅ 111 + 2 ⋅ 11 + 9)$ bude vždy dělitelná $9$, druhá část $5 + 2 + 9 + 2$ je ciferný součet

$6$ - Číslo je dělitelné $2$ i $3$
$15$ - Číslo je dělitelné $3$ i $5$
$12$ - Číslo je dělitelné $3$ i $4$
$11$ - Sečteme čísla na lichých cifrách a odečteme sudé cifry; zjistíme, zda je výsledek dělitelný $11$

Důkaz:

$7$ - Střídavě od konce násobíme cifry čísly $1, 3, 2, -1, -3, -2$, sečteme a zjistíme, zda je výsledek dělitený $7$

Důkaz:

Prvočísla a složená čísla

Prvočíslo = číslo, které má právě $2$ různé dělitele: $1$ a samo sebe

Složené číslo = číslo, které má aspoň $3$ různé dělitele

$1$ není ani prvočíslo, ani složené číslo

$2$ je nejmenší prvočíslo

Každé přirozené číslo $a > 1$ je buď prvočíslo, nebo jej lze zapsat jako součin prvočísel

Základní věta aritmetiky

Každé $n \in N; n > 1$:

$p_1, p_2, ..., p_k$ jsou prvočísla