Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic o více neznámých

Lineární rovnice o 2 neznámých:

ax+by+c=0 a,b,c∈Rax + by + c = 0 \\~\\ a, b, c \in \R

Minimálně 1 z a,b≠0a, b \neq 0

Řešením je uspořádaná dvojice

K={[x,y]}K = \{[x, y]\}

Řešení

  1. 1 lineární rovnice o 2 neznámých:
    →\to 1 neznámou zvolíme jako parametr, 2. neznámou vyjádříme pomocí parametru

    Např.:

    x+y=1  y=1−x  K={[x;1−x]}x + y = 1 \\~\\~ y = 1 - x \\~\\~ K = \{[x; 1 - x]\}

  2. 2 rovnice o 2 neznámých:
    →\to 3 metody – dosazovací, srovnávací, sčítací

    Dosazovací metoda – př.:

    2x−3y+5=0  4x−3y+1=0  y=2x+53  4x−3⋅2x+53+1=0  x=2  y=32x - 3y + 5 = 0 \\~\\~ 4x - 3y + 1 = 0 \\~\\~ y = \frac{2x + 5}{3} \\~\\~ 4x - 3 \cdot \frac{2x + 5}{3} + 1 = 0 \\~\\~ x = 2 \\~\\~ y = 3

    Srovnávací metoda – př. (stejná soustava rovnic):

    2x−4=0  x=2  y=3  K={[2;3]}2x - 4 = 0 \\~\\~ x = 2 \\~\\~ y = 3 \\~\\~ K = \{[2; 3]\}

  3. nn rovnic o mm neznámých:
    Gaussova eliminační metoda – př.:

    a+b−2c=0  a−b−8c=0  3a+5b+4c=0  ⟶  a+b−2c=0  2b+6c=0  2b+10c=0  ⟶  a+b−2c=0  b+3c=0  2c=0a + b - 2c = 0 \\~\\~ a - b - 8c = 0 \\~\\~ 3a + 5b + 4c = 0 \\~\\~ \longrightarrow \\~\\~ a + b - 2c = 0 \\~\\~ 2b + 6c = 0 \\~\\~ 2b + 10c = 0 \\~\\~ \longrightarrow \\~\\~ a + b - 2c = 0 \\~\\~ b + 3c = 0 \\~\\~ 2c = 0