Čtyřúhelníky

Čtyřúhelníky

Konvexní čtyřúhelník má 2 úhlopříčky, značíme e,fe, f nebo u,vu, v

Tětivový čtyřúhelník

= Čtyřúhelník, kterému je možno opsat kružnici

Strany tětivového čtyřúhelníku tvoří tětivy kružnice

Součet protějších úhlů v tětivovém čtyřúhelníku je α+γ=β+δ=180°\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180°

Platí v něm Ptolemaiova věta: a⋅c+b⋅d=e⋅fa \cdot c + b \cdot d = e \cdot f

Tečnový čtyřúhelník

= Čtyřúhelník, kterému je možno vepsat kružnici

Strany tečnového čtyřúhelníku tvoří tečny kružnice

V každém tečnovém čtyřúhelníku platí: a+c=b+da + c = b + d

Dvojstředový čtyřúhelník

= Čtyřúhelník, kterému lze opsat i vepsat kružnici

Příklady: čtverec, deltoid se 2 pravými úhly

Klasifikace konvexních čtyřúhelníků podle délky stran

  • Obecné čtyřúhelníky

  • Lichoběžníky:
    Mají právě 1 dvojici rovnoběžných stran

  • Rovnoběžníky:
    Mají právě 2 dvojice rovnoběžných stran
    Dělení podle délky stran:

    • Rovnostranné:
      Čtverec, kosočtverec
    • Různostranné:
      Obdélník, kosodélník
      Dělení podle velikosti úhlů:
    • Pravoúhelníky:
      Čtverec, obdélník
    • Kosoúhelníky:
      Kosočtverec, kosodélník

Rovnoběžník

a=c,b=d  α=γ,β=δa = c, b = d \\~\\~ \alpha = \gamma, \beta = \delta

Úhlopříčky se navzájem půlí, jejích průsečík nazýváme středem rovnoběžníku

Má 2 výšky

Obdélník je příklad tětivového čtyřúhelníku

Kosočtverec: úhly jsou na sebe kolmé, je to tečnový čtyřúhelník, 2 výšky mají stejnou velikost

Obsah rovnoběžníku

Součin délky strany a příslušné výšky

Čtverec: S=a2S = a^2

Obdélník: S=a⋅bS = a \cdot b

Kosočtverec: S=a⋅vaS = a \cdot v_a

Kosodélník: S=a⋅va=e⋅f2S = a \cdot v_a = \frac{e \cdot f}{2}

Bráhmaguptův vzorec

Platí pouze pro tětivový čtyřúhelník

S=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)  s=a+b+c+d2S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} \\~\\~ s = \frac{a + b + c + d}{2}

Pro tečnový čtyřúhelník platí: S=r⋅sS = r \cdot s

Lichoběžník

Má základny a ramena

α+δ=β+γ=180°\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180°

Výška = vzdálenost základen

Střední příčka = úsečka, která spojuje středy ramen, s=a+c2s = \frac{a + c}{2} (aritmetický průměr délek základen)

Rovnoramenný lichoběžník

∣AD∣=∣BC∣,α=β,γ=δ|AD| = |BC|, \alpha = \beta, \gamma = \delta

Je tětivový

Pravoúhlý lichoběžník

Má 2 úhly pravé

Obsah lichoběžníku

S=(a+c)⋅v2S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}

Deltoid

= Speciální případ čtyřúhelníku, který má 2 dvojice sousedních stejně dlouhých stran

Úhlopříčky jsou na sebe kolmé

Hlavní osa úhlu = osa vnitřních úhlů, půli osu úhlů vedlejších