Kružnice

Kružnice

Kružnice = množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu (= střed kružnice)

Střed kružnice značíme SS, poloměr značíme rr

Kružnici značíme k(S;r)k(S; r)

Úsečka AB;S∈AB;A,B,∈kAB; S \in AB; A, B, \in k ... průměr d=2rd = 2r

Kružnicový oblouk

Máme body K,L∈kK, L \in k, ty nám kružnici kk rozdělí na 2 kružnicové oblouky, oblouk značíme KXL⌢\stackrel{\frown}{KXL} (XX je bod ležící na tomto oblouku)

Tětiva

= Úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici

Osa tětivy prochází středem kružnice

Středový úhel

A,B∈k  ω=∢ASBA, B \in k \\~\\~ \omega = \sphericalangle ASB

ω\omega ... středový úhel

Obvodový úhel

Obvodový úhel příslušný oblouku ABAB:

A,B,V∈k  α=∢AVBA, B, V \in k \\~\\~ \alpha = \sphericalangle AVB

Úsekový úhel

β=∢BAX  A,B∈k  AX⊥AS\beta = \sphericalangle BAX \\~\\~ A, B \in k \\~\\~ AX \perp AS

Všechny obvodové úhly příslušné jednomu oblouku jsou shodné

VĚTA

Velikost středového úhlu ∢ASB\sphericalangle ASB je dvakrát větší než obvodový úhel příslušný témuž oblouku (∢AVB\sphericalangle AVB)

ω=2α\omega = 2 \alpha

Kruh

Kruh K(S;r)K(S; r) = část roviny omezená kružnicí k(S;r)k(S; r) (= hranice kruhu)

Kruhová úseč

Každá tětiva rozdělí kruh na 2 úseče

Pokud je tato tětiva průměrem, pak dělí kruh na 2 půlkruhy

Kruhová úseč má výšku, značíme hh

Kruhová výseč

2 poloměry rozdělí kruh na 2 výseče

Ludolfovo číslo

Označení π\pi vzniklo z řeckého πϵριμτροσ\pi\epsilon\rho\iota\mu\tau\rho\omicron\sigma

π=4∑n=0∞(−1)n 12n+1  eiπ=−1\pi = 4\sum^\infin_{n=0}(-1)^n \space \frac{1}{2n + 1} \\~\\~ e^{i \pi} = -1

π\pi ... poměr délky libovolné kružnice a jejího průměru

Obvod a obsah kruhu

o=πd=2πr  ooblouku=πrω180°  S=πr2=πd24  Svyˊsecˇe=πr2ω360°  Suˊsecˇe=πr2ω360°−r2sin⁡(ω)2o = \pi d = 2 \pi r \\~\\~ o_{\text{oblouku}} = \frac{\pi r \omega}{180°} \\~\\~ S = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} \\~\\~ S_{\text{výseče}} = \frac{\pi r^2 \omega}{360°} \\~\\~ S_{\text{úseče}} = \frac{\pi r^2 \omega}{360°} - \frac{r^2 \sin{(\omega)}}{2}

Kruh je rovinný útvar, který má při daném obvodu největší obsah

Bod a kružnice

  • Vnitřní body →\to vnitřní oblast kružnice (∣XS∣<r|XS| < r)
  • Vnější body →\to vnitřní oblast kružnice (∣XS∣>r|XS| > r)

Přímka a kružnice

  • Žádný společný bod →\to vnější přímka kružnice
  • 1 společný bod →\to tečna kružnice (t⊥ST,Tt \perp ST, T ... bod dotyku)
  • 2 společné body →\to sečna kružnice (T1T2T_1T_2 je tětiva kružnice)

Konstrukce tečny ke kružnici

k(S,r)  τSR  T1,T2∈k∩T  t1,t2=TRk(S, r) \\~\\~ \tau_{SR} \\~\\~ T_1, T_2 \in k \cap T \\~\\~ t_1, t_2 = TR

RR ... vnější bod

2 kružnice

Soustředné kružnice

k1(S1,r1)  k2(S2,r2)  S1=S2k_1(S_1, r_1) \\~\\~ k_2(S_2, r_2) \\~\\~ S_1 = S_2

Mezikruží

Část roviny omezená 2 soustřednými kružnicemi

Sm=S1−S2  Sm=π(r12−r22)S_m = S_1 - S_2 \\~\\~ S_m = \pi(r_1^2 - r_2^2)

Středná vzdálenost

∣S1S2∣|S_1S_2|

2 nesoustředné kružnice

  1. Žádný společný bod, kružnice je vně:
    ∣S1S2∣>r1+r2|S_1S_2| > r_1 + r_2
  2. Žádný společný bod, kružnice je uvnitř:
    ∣S1S2∣<r1−r2|S_1S_2| < r_1 - r_2
  3. Vnější dotyk:
    ∣S1S2∣=r1+r2|S_1S_2| = r_1 + r_2
  4. Vnitřní dotyk:
    ∣S1S2∣=r1−r2|S_1S_2| = r_1 - r_2
  5. 2 průsečíky:
    r1−r2<∣S1S2∣<r1+r2r_1 - r_2 < |S_1S_2| < r_1 + r_2

Mocnost bodu ke kružnici

k(S,r),M  m=∣SM∣2−r2  m=∣MT∣2  m=∣MA∣⋅∣MB∣  m=−∣MA∣⋅∣MB∣ (M je vnitrˇnıˊ bod)k(S, r), M \\~\\~ m = |SM|^2 - r^2 \\~\\~ m = |MT|^2 \\~\\~ m = |MA| \cdot |MB| \\~\\~ m = -|MA| \cdot |MB| \space (M \text{ je vnitřní bod})

A,BA, B ... průsečíky sečny z MM

Chordála = bod, který má stejnou mocnost ke 2 různým kružnicím