Mnohoúhelníky

Mnohoúhelníky

Lomená čára

Máme body $B_0, B_1, B_2, ..., B_n$, každé tři po sobě jdoucí body jsou nekolineární

Vytvoříme $n$ úseček: $B_0B_1, B_1B_2, ..., B_{n-1}B_n$

Lomená čára je sjednocením těchto úseček

Jestliže $B_n = B_0$, pak mluvíme o uzavřené lomené čáře

Mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čarou ($n \geq 3$), která sebe samu neprotíná

Také pojmenování $n$-úhelník (trojúhelník, čtyřúhelník, ...)

Pokud všechny úsečky spojující 2 různé vrcholy patří do mnohoúhelníku, pak je konvexní

Pokud alespoň jedna úsečka spojující 2 různé vrcholy nepatří celá do mnohoúhelníku, pak je nekonvexní

Úhlopříčka = úsečka spojující 2 nesousední vrcholy

Počet úhlopříček v $n$-úhelníku:

Vnitřní úhel

$A$ ... vrchol mnohoúhelníku
$X, Y$ ... 2 sousední vrcholy k $A$

Vnitřní úhel mnohoúhelníku = průnik polorovin ${\to}XAY$ a ${\to} YAX$

Vnější úhel konvexního mnohoúhelníku je úhel vedlejší k vnitřnímu úhlu

Součet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku:

Pravidelný mnohoúhelník

= Konvexní $n$-úhelník, který má $\forall$ strany stejně dlouhé a $\forall$ vnitřní úhly shodné

$n = 3$ ... rovnostranný $\triangle$
$n = 4$ ... čtverec

Protější vrcholy a strany pouze, pokud je $n$ sudé, protější strany jsou rovnoběžné

U lichého $n$ můžeme nalézt protější vrchol a stranu

Prodloužením stran $n$-úhelníku vznikne pravidelný hvězdicovitý mnohoúhelník

Opsaná a vepsaná pravidelnému mnohoúhelníku

Opsaná kružnice prochází všemi vrcholy, poloměr označujeme $r$

Vepsaná kružnice se dotýká všech stran, poloměr označujeme $\rho$

Mají společný střed, ten nazýváme střed mnohoúhelníku

U sudého $n$ střed najdeme spojením protějších vrcholů, průsečík je střed

U lichého $n$ střed najdeme vytvořením kolmic z vrcholů na protější strany, průsečík je střed

Rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky

$\forall$ pravidelný $n$-úhelník lze rozdělit na $n$ shodných rovnoramenných $\triangle$

Ramena budou rovna $r$, výška na základnu bude rovna $\frac{\rho}{2}$, vnitřní úhel $\triangle$ u středu mnohoúhelníku bude roven $\frac{360°}{n}$