Pythagorova a Euklidovy věty

Pythagorova věta

Pravoúhlý trojúhelník

  • 1 úhel je pravý
  • Strany, které svírají 90°→90 ° \to odvěsny
  • Strana proti pravému úhlu →\to přepona

Věta

Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu čtverce sestrojeného nad jeho přeponou.

Trojice přirozených čísel, která splňují Pythagorovu větu, se nazývají pythagorejská čísla (např. 3,4,53, 4, 5 nebo 5,12,135, 12, 13)

Euklidovy věty

Úseky přepony

Z vrcholu pravoúhlého trojúhelníku naproti přeponě spustíme výšku, tato výška rozdělí přeponu na 2 úseky

BC0BC_0 ... úsek přilehlý k odvěsně aa ... cac_a
AC0AC_0 ... úsek přilehlý k odvěsně bb ... cbc_b

Euklidova věta o výšce

Obsah obdélníku, jehož strany tvoří úseky přepony pravoúhlého △\triangle, je roven obsahu čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě

vc2=ca⋅cb{v_c}^2 = c_a \cdot c_b

Důkaz pomocí podobných trojúhelníků:

△ACC0∼△CBC0 (uu)  cbvc=vcca  cb⋅ca=vc2\triangle ACC_0 \sim \triangle CBC_0 \text{ (uu)} \\~\\~ \frac{c_b}{v_c} = \frac{v_c}{c_a} \\~\\~ c_b \cdot c_a = {v_c}^2

Euklidova věta o odvěsně

Obsah obdélníku, jehož strany tvoří přepona pravoúhlého △\triangle a úsek přepony přilehlého k odvěsně, je roven obsahu čtverce sestrojeného nad touto odvěsnou

a2=c⋅ca  b2=c⋅cba^2 = c \cdot c_a \\~\\~ b^2 = c \cdot c_b

Důkaz pomocí Euklidovy věty o výšce a Pythagorovy věty:

a2=vc2+ca2  a2=ca⋅cb+ca2  a2=ca(cb+ca)  a2=ca⋅ca^2 = {v_c}^2 + {c_a}^2 \\~\\~ a^2 = c_a \cdot c_b + {c_a}^2 \\~\\~ a^2 = {c_a}(c_b + c_a) \\~\\~ a^2 = c_a \cdot c

Konstrukce pomocí Euklidových vět

6=2⋅3\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}

→\to Sestrojíme úseky přepony o délce 22 a 33, pomocí Thaletovy kružnice najdeme vrchol trojúhelníku, výška bude 6\sqrt{6}