Trojúhelník

Planimetrie

Trojúhelník

△KLM=↦KLM∩↦LMK∩↦MKL\triangle KLM = {\mapsto}KLM \cap {\mapsto}LMK \cap {\mapsto}MKL

K,L,MK, L, M ... 3 různé body v rovině, které neleží na 1 přímce ... vrcholy △\triangle

k,l,mk, l, m ... strany △\triangle

k=∣LM∣k = |LM|

Trojúhelníková nerovnost

Musí platit, abychom mohli △\triangle mohli sestrojit

V každém trojúhelníku je součet libovolných 2 stran větší než strana třetí

k+l>m  k+m>l⇒m>l−k  l+m>k⇒m>k−l  ∣k−l∣<m<k+lk + l > m \\~\\~ k + m > l \Rightarrow m > l - k \\~\\~ l + m > k \Rightarrow m > k - l \\~\\~ |k - l| < m < k + l

Vnitřní úhly

= Konvexní úhly ∢ABC,∢BAC,∢ACB\sphericalangle ABC, \sphericalangle BAC, \sphericalangle ACB

Vnější úhly

= Vedlejší úhly k úhlům vnitřním

α+α′=180°  β+β′=180°  γ+γ′=180°  α+β+γ=180°  α′=β+γ  β′=α+γ  γ′=α+β\alpha + \alpha' = 180° \\~\\~ \beta + \beta' = 180° \\~\\~ \gamma + \gamma' = 180° \\~\\~ \alpha + \beta + \gamma = 180° \\~\\~ \alpha' = \beta + \gamma \\~\\~ \beta' = \alpha + \gamma \\~\\~ \gamma' = \alpha + \beta

Proti většímu vnitřnímu úhlu leží delší strana △\triangle

Výška trojúhelníku

= Úsečka, která spojuje vrchol △\triangle s patou kolmice na protější stranu

A0,B0,C0A_0, B_0, C_0 ... paty kolmic

Ortocentrum = průsečík výšek; může ležet i mimo △\triangle

Těžnice trojúhelníku

= Úsečka, která spojuje vrchol △\triangle se středem protější strany

A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 ... středy stran

Těžiště = průsečík těžnic; dělí těžnice v poměru 1:21 : 2

Každá těžnice dělí △\triangle na 2 △\triangle se stejným obsahem

Střední příčky trojúhelníku

= Úsečka, která spojuje středy stran

Je vždy rovnoběžná s protější stranou

Má poloviční velikost než strana, se kterou je rovnoběžná

Kružnice opsaná

OO ... střed kružnice opsané = průsečík os stran
rr ... poloměr kružnice opsané

Kružnice vepsaná

SS ... střed kružnice vepsané = průsečík os vnitřních úhlů
ρ\rho ... poloměr kružnice vepsané

Kružnice připsaná

Střed kružnice připsané = průsečík osy vnitřního úhlu a 2 vnějších úhlů

Klasifikace trojúhelníků

  • Podle délky stran:

    1. Různostranné
    2. Rovnoramenné:
      Základna a 2 ramena
    3. Rovnostranný

  • Podle velikosti úhlů:

    1. Ostroúhlé
    2. Pravoúhlé
    3. Tupoúhlé

Eulerova přímka

= Přímka, která spojuje střed kružnice opsané, těžiště a ortocentrum