Úvod do planimetrie

Planimetrie

Základní pojmy

Geometrie se dělí na planimetrii (= geometrii v rovině) a stereometrii (= geometrii v prostoru)

Bod, přímka, rovina – nedefinují se

Vzájemná poloha 2 bodů

1. Splývají (jsou totožné): $A = B$
2. Jsou různé: $A \neq B$

Základní axiom Eukleidovské geometrie

Dvěma různými body prochází právě 1 přímka

Vzájemná poloha bodu a přímky

1. $A \notin p$
2. $A \in p$
   = $A$ leží na přímce $p$
   = $A$ a $p$ jsou incidentní

Leží-li 3 body na 1 přímce, pak jsou kolineární

Vzájemná poloha 2 přímek

1. $1$ společný bod – průsečík $P$

   $$a \nparallel b \\~\\~ P \in a \cap b \\~\\~ \{P\} = a \cap b$$

2. $0$ společných bodů

   $$a \parallel b \\~\\~ a \cap b = \varnothing$$

3. $\infin$ společných bodů

   $$a = b$$

Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku

Transitivita

Polopřímka

Bod, který leží na přímce, rozděluje tuto přímku na 2 navzájem opačné polopřímky

Značka: ${\mapsto}KL$

Úsečka

Úsečka $MN$ je průnikem ${\mapsto}MN$ s ${\mapsto}NM$

$M, N$ ... krajní body

Všechny body na $MN$ kromě $M, N$ jsou vnitřní body

Velikost úsečky = vzdálenost krajních bodů:

Shodnost úseček:

Střed úsečky = vnitřní bod úsečky, který ji rozděluje na 2 shodné úsečky

Součet/rozdíl úseček = úsečka, pro kterou platí:

Polorovina

= Přímka dělící rovinu na 2 navzájem opačné poloroviny

Značení:

Rovinný pás

$p, q$ ... různé rovnoběžky, $P \in p$, $Q \in q$

Rovinný pás je průnik polorovin ${\mapsto} pQ \cap {\mapsto} qP$

Úhel

2 polopřímky ${\mapsto} VA, {\mapsto} VB$ dělí rovinu na 2 úhly $\sphericalangle AVB$

${\mapsto} VA$ a ${\mapsto} VB$ jsou ramena úhlu, $V$ je vrchol úhlu

V, A, B nejsou kolineární

Jeden z úhlů je konvexní: $\sphericalangle AVB$ ... leží v něm celá úsečka $AB$ - úhel $\sphericalangle AVB = \space {\mapsto} VAB \space \cap {\mapsto} VBA$

Druhý úhel je nekonvexní (symbol je podobný, jako symbol konvexního úhlu, ale oblouk se nachází na druhé straně, v $\LaTeX$u takový symbol bohužel není) $\angle AVB$ ... sjednocení polorovin opačných k ${\mapsto} AVB$ a ${\mapsto} VBA$

V, A, B jsou kolineární

${\mapsto} VA, {\mapsto} VB$ jsou navzájem opačné - 2 přímé úhly

${\mapsto} VA = \space {\mapsto} VB$ - nulový úhel a plný úhel

Velikost úhlu

• Stupňová míra:
  $1°$ je $\frac{1}{360}$ plného úhlu
  Úhlový stupeň $= 60$ úhlových minut $= 3600$ úhlových vteřin

• Oblouková míra:
  $360° = 2\pi \space \text{rad}$

• Gradiány:
  V matematice se nepoužívají, používají se např. v geodésii

Shodnost úhlu

Osa úhlu

= Polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která úhel rozdělí na 2 shodné úhly

Součet a rozdíl úhlů

$\gamma = \alpha \plusmn \beta$

Vedlejší úhly

= 2 konvexní úhly, které mají 1 rameno společné, další jsou navzájem opačné polopřímky

$\alpha + \beta = 180°$

Pravý úhel

= Úhel, který je shodný se svým vedlejším úhlem

$\alpha = 90°$

Ostrý úhel

$0° < \alpha < 90°$

Tupý úhel

$90° < \beta < 180°$

Vrcholové úhly

= 2 konvexní úhly, jejichž ramena jsou navzájem opačné polopřímky

Příčka přímek

$a \parallel b, p$ je různoběžná s $a, b$

Souhlasné úhly

Např. 1 rameno leží na příčce, druhé rameno leží na rovnoběžce na stejné polorovině určené příčkou $p \implies \alpha = \beta$

Střídavé úhly

Např. 1 rameno leží na příčce, druhé rameno leží na rovnoběžce na opačné polorovině k polorovině určené příčkou $p \implies \alpha = \beta$

Odchylka přímek

Odchylka rovnoběžných nebo totožných přímek je $0°$

Odchylka různoběžek je velikost ostrého nebo pravého úhlu, který svírají

Značení:

Kolmice

Pata kolmice = průsečík kolmice a přímky

Osa úsečky

= Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá

Kreslí se čerchovaně, značí se $o$

Vzdálenost bodu od přímky

$P$ ... pata kolmice vedené bodem $A$ k přímce $p$

Vzdálenost 2 rovnoběžek

Najdeme společnou kolmici, $A, B$ jsou paty kolmic