Struktura matematiky

Struktura matematiky

Primitivní pojmy – předpokládá se, že všichni vědí, o co jde (např. číslo, bod, přímka, ...)

Axiomy = věty, které přijímáme jako platné, nedokazujeme je (např. věta "Každé 2 různé body určují právě 1 přímku")

Definice = text, který zavádí nový pojem – název + přesné vymezení (např. "Prvočíslo je přirozené číslo, které má právě 2 různé dělitele")

Matematické věty

= Pravdivé tvrzení, kde je řečeno, za jakých přesně vymezených podmínek mají přesně vymezené objekty konkrétní vlastnosti

1. Předpoklady
   Např. mějme, nechť, každý, ...
2. Tvrzení

Např.:

Výrok se stane matematickou větou až poté, co dokážeme jako pravdivost

Důkazy

1. Přímý $$p \implies t$$ Dokázat = sestavit pravdivé implikace $$p \implies b_1, \space b_1 \implies b_2, \space ..., \space b_n \implies t$$ Např.: $$\forall \space n \in \N : 4 \space | \space n \implies 2 \space | \space n \\~\\~ 4 \space | \space n \implies n = 4 \cdot k \implies n = 2 \cdot 2k \implies n = 2 \cdot (2k) \implies 2 \space | \space n$$
2. Nepřímý
   Z implikace $p \implies t$ vytvoří obměněnou implikaci, dokazujeme přímo implikaci obměněnou: $\neg t \implies \neg p$
   Např.: $$\forall \space n \in \N : 2 \not{|} \space n \implies 4 \not{|} \space n \\~\\~ 2 \not{|} \space n \implies n = 2k + 1 \implies 4 \not{|} \space n$$
3. Sporem
   Máme výraz $v$
   1. Vyslovíme $\neg v$
   2. Pravdivými implikacemi dojdeme ke zjevně nepravdivému výroku = spor
   3. Tedy musí platit $v$
      Např.: $$v: \text{Neexistuje největší přirozené číslo.} \\~\\~ \neg v: \exists \space \text{největší} \space a \implies \exists \space b = a + 1 \implies a \space \text{není největší.}$$
4. Matematickou indukcí