11. 4. 2022
Homogenní = ve všech místech je stejná intenzita gravitačního pole
Tíhové = na tělesa působí svisle dolů (kolmo k vodorovnému směru) tíhová síla
= Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb s nulovou počáteční rychlostí
v = g t h = 1 2 g t 2 v = gt
\\~\\~
h = \frac{1}{2}gt^2 v = g t h = 2 1 g t 2 Doba dopadu :
t D = 2 h max g t_D = \sqrt{\frac{2h_{\text{max}}}{g}} t D = g 2 h max Rychlost dopadu :
v D = g ⋅ t D v D = 2 h g v_D = g \cdot t_D
\\~\\~
v_D = \sqrt{2hg} v D = g ⋅ t D v D = 2 h g
21. 4. 2022
= Složené pohyby z volného pádu a z pohybu rovnoměrně přímočarého
v 0 ⃗ ∥ g ⃗ \vec{v_0} \parallel \vec{g} v 0 ∥ g Směr nahoru → \to →
Směr dolů → \to →
h = v 0 t − 1 2 g t 2 v = v 0 − g t h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2
\\~\\~
v = v_0 - gt h = v 0 t − 2 1 g t 2 v = v 0 − g t Doba výstupu :
v = v 0 − g t V 0 = v 0 − g t V t V = v 0 g v = v_0 - gt_\text{V}
\\~\\~
0 = v_0 - gt_\text{V}
\\~\\~
t_\text{V} = \frac{v_0}{g} v = v 0 − g t V 0 = v 0 − g t V t V = g v 0 Maximální výška výstupu :
h max = v 0 t V − 1 2 g t V 2 h max = v 0 2 g − 1 2 g ( v 0 g ) 2 h max = v 0 2 g − v 0 2 2 g h max = v 0 2 2 g h_\text{max} = v_0t_\text{V} - \frac{1}{2}gt_\text{V}^2
\\~\\~
h_\text{max} = \frac{v_0^2}{g} - \frac{1}{2}g(\frac{v_0}{g})^2
\\~\\~
h_\text{max} = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g}
\\~\\~
h_\text{max} = \frac{v_0^2}{2g} h max = v 0 t V − 2 1 g t V 2 h max = g v 0 2 − 2 1 g ( g v 0 ) 2 h max = g v 0 2 − 2 g v 0 2 h max = 2 g v 0 2 Doba dopadu :
t D = 2 h max g t D = 2 v 0 2 2 g 2 t D = v 0 g = t V t_\text{D} = \sqrt{\frac{2h_\text{max}}{g}}
\\~\\~
t_\text{D} = \sqrt{\frac{2v_0^2}{2g^2}}
\\~\\~
t_\text{D} = \frac{v_0}{g} = t_\text{V} t D = g 2 h max t D = 2 g 2 2 v 0 2 t D = g v 0 = t V → \to → stoupá nahoru stejně dlouho, jako padá dolů (t V = t D t_\text{V} = t_\text{D} t V = t D
Rychlost dopadu :
v D = g t D = v 0 g ⋅ g v D = v 0 v_\text{D} = gt_\text{D} = \frac{v_0}{g} \cdot g
\\~\\~
v_\text{D} = v_0 v D = g t D = g v 0 ⋅ g v D = v 0 → \to → dopadu je stejná , jako počáteční rychlost
v 0 ⃗ ⊥ g ⃗ \vec{v_0} \perp \vec{g} v 0 ⊥ g Složen z volného pádu a rovnoměrně přímočarého vodorovného pohybu
2. 5. 2022
V každém místě trajektorie musíme k popisu použít 2 souřadnice
A [ 0 , h ] A[0, h] A [ 0 , h ] počáteční bod
B [ x B , y B ] B[x_B, y_B] B [ x B , y B ]
x B = v 0 ⋅ t y B = h max − 1 2 g t 2 x_B = v_0 \cdot t
\\~\\~
y_B = h_\text{max} - \frac{1}{2}gt^2 x B = v 0 ⋅ t y B = h max − 2 1 g t 2 Vektor okamžité rychlosti je tečna k trajektorii, rozkládáme ho do vodorovného vektoru (ten se nemění ) a do svislého vektoru (mění se), jsou navzájem kolmé
v = v 0 2 + v y 2 = v 0 2 + ( g t ) 2 v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2} v = v 0 2 + v y 2 = v 0 2 + ( g t ) 2 D [ d , 0 ] D[d, 0] D [ d , 0 ] dopadu d d d dálka doletu t D t_D t D doba dopadu
x D = v 0 ⋅ t D y D = 0 0 = h max − 1 2 g t 2 t D = 2 h max g x_D = v_0 \cdot t_D
\\~\\~
y_D = 0
\\~\\~
0 = h_\text{max} - \frac{1}{2}gt^2
\\~\\~
t_D = \sqrt{\frac{2h_\text{max}}{g}} x D = v 0 ⋅ t D y D = 0 0 = h max − 2 1 g t 2 t D = g 2 h max → \to → stejná , jako u volného pádu
d = v 0 ⋅ 2 h max g d = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2h_\text{max}}{g}} d = v 0 ⋅ g 2 h max Dobu dopadu ovlivňuje počáteční rychlost a maximální výška
v D = v 0 2 + ( 2 h max g ) 2 v D = v 0 2 + 2 g h max v_D = \sqrt{v_0^2 + (\sqrt{\frac{2h_\text{max}}{g}})^2}
\\~\\~
v_D = \sqrt{v_0^2 + 2gh_\text{max}} v D = v 0 2 + ( g 2 h max ) 2 v D = v 0 2 + 2 g h max Trajektorie: parabola
v 0 x ⃗ \vec{v_{0_x}} v 0 x vodorovná počáteční rychlostv 0 y ⃗ \vec{v_{0_y}} v 0 y svislá počáteční rychlostα \alpha α elevační úhel = úhel, který svírá v 0 ⃗ \vec{v_0} v 0 v 0 x ⃗ \vec{v_{0_x}} v 0 x
v 0 x = v 0 ⋅ cos α v 0 y = v 0 ⋅ sin α v_{0_x} = v_0 \cdot \cos \alpha
\\~\\~
v_{0_y} = v_0 \cdot \sin \alpha v 0 x = v 0 ⋅ cos α v 0 y = v 0 ⋅ sin α Ve směru vodorovné osy se jedná o rovnoměrně přímočarý pohyb
x A = v 0 x ⋅ t = v 0 ⋅ cos α ⋅ t y A = v 0 ⋅ sin α ⋅ t − 1 2 g t 2 x_A = v_{0_x} \cdot t = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t
\\~\\~
y_A = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 x A = v 0 x ⋅ t = v 0 ⋅ cos α ⋅ t y A = v 0 ⋅ sin α ⋅ t − 2 1 g t 2 t t t doba výstupu
Ve vrcholu V V V v 0 y = 0 v_{0_y} = 0 v 0 y = 0 v 0 x v_{0_x} v 0 x
9. 5. 2022
0 = v 0 ⋅ sin α − g t V t V = v 0 ⋅ sin α g 0 = v_0 \cdot \sin \alpha - gt_\text{V}
\\~\\~
t_\text{V} = \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} 0 = v 0 ⋅ sin α − g t V t V = g v 0 ⋅ sin α Maximální výška výstupu:
h max = y = v 0 ⋅ sin α ⋅ t V − 1 2 g t V 2 h max = v 0 ⋅ sin α ⋅ v 0 ⋅ sin α g − v 0 2 ⋅ sin 2 α 2 g h max = v 0 2 ⋅ sin 2 α g − v 0 2 ⋅ sin 2 α 2 g h max = v 0 2 ⋅ sin 2 α 2 g h_\text{max} = y = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t_\text{V} - \frac{1}{2}g{t_\text{V}}^2
\\~\\~
h_\text{max} = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} - \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{2g}
\\~\\~
h_\text{max} = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{g} - \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{2g}
\\~\\~
h_\text{max} = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{2g} h max = y = v 0 ⋅ sin α ⋅ t V − 2 1 g t V 2 h max = v 0 ⋅ sin α ⋅ g v 0 ⋅ sin α − 2 g v 0 2 ⋅ sin 2 α h max = g v 0 2 ⋅ sin 2 α − 2 g v 0 2 ⋅ sin 2 α h max = 2 g v 0 2 ⋅ sin 2 α Dálka doletu:
d = v 0 ⋅ cos α ⋅ 2 ⋅ v 0 ⋅ sin α g d = v 0 2 ⋅ 2 ⋅ sin α ⋅ cos α g d = v 0 2 ⋅ sin 2 α g d = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot 2 \cdot \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g}
\\~\\~
d = \frac{v_0^2 \cdot 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{g}
\\~\\~
d = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g} d = v 0 ⋅ cos α ⋅ 2 ⋅ g v 0 ⋅ sin α d = g v 0 2 ⋅ 2 ⋅ sin α ⋅ cos α d = g v 0 2 ⋅ sin 2 α → \to → stejná pro dvojice doplňkových úhlů do 90 ° 90° 90° největší dálka doletu je pro elevační úhel 45 ° 45° 45°
Ve vakuu je trajektorie parabola , ve vzduchu jde o nedokonalou parabolu, tzv. balistickou křivku