Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa

Tuhé těleso = fyzikální model tělesa, u kterého nám záleží na rozměrech, působí na něj síly s otáčivým pohybovým účinkem, nezajímá nás deformace sil

Otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy

Body tělesa mají stejnou úhlovou rychlost, budou opisovat kružnici, každá bude mít jiný poloměr

Např.: otvírání a zavírání dveří, pohyb s klikou, pohyb ručičky hodin, houpání se

Moment síly vzhledem k nehybné ose otáčení

Závisí na velikosti síly a délce ramena síly

Moment síly:

M⃗=F⃗⋅r  [M]=Nm\vec{M} = \vec{F} \cdot r \\~\\~ [M] = \text{Nm}

Rameno síly = nejkratší možná vzdálenost osy otáčení od vektorové přímky

Působiště momentu síly je na ose otáčení, leží v rovině kolmé na vektorovou přímku

Proti směru hodinových ručiček →\to kladný směr (+M+M) – pravidlo pravé ruky

Po směru hodinových ručiček →\to záporný směr (−M-M)

M⃗=M1⃗+M2⃗+...+Mn⃗=o⃗\vec{M} = \vec{M_1} + \vec{M_2} + ... + \vec{M_n} = \vec{o}

Momentová věta

M=0M = 0

o⃗\vec{o} ... nulový vektor

Pokud je výsledný moment všech sil působících na těleso vzhledem k ose otáčení nulový, těleso se neotáčí. Síly mohou mít pouze posuvný, případně deformační účinek.

Skládání sil

= Hledání výslednice

Výslednice má vždy stejné účinky na těleso jako její složky

  • Stejný směr:

    F⃗=F1⃗+F2⃗  M1⃗+M2⃗=o⃗  M1+M2=0  M1=−M2  F1⋅r1=−F2⋅r2  F1F2=−r2r2\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} \\~\\~ \vec{M_1} + \vec{M_2} = \vec{o} \\~\\~ M_1 + M_2 = 0 \\~\\~ M_1 = -M_2 \\~\\~ F_1 \cdot r_1 = -F_2 \cdot r_2 \\~\\~ \frac{F_1}{F_2} = -\frac{r_2}{r_2}

    Působiště výslednice leží na spojnici působišť složek

  • Opačný směr:
    Působiště výslednice leží mimo spojnici působišť složek

Dvojice sil

= 2 síly, které jsou rovnoběžné, opačného směru a stejně velké

F1=F2F_1 = F_2

dd ... rameno dvojice sil

Síly mají na těleso vždy otáčivý účinek

Síly se neskládají

D⃗=F⃗⋅d  F=F1=F2\vec{D} = \vec{F} \cdot d \\~\\~ F = F_1 = F_2

Rozklad sil

Výslednice musí mít na těleso stejný účinek, jaký mají na těleso jednotlivé složky

Potřebujeme znát výslednici, kterou rozkládáme do složek, také musíme znát směry složek

Těžiště tuhého tělesa

Každé těleso má právě jedno

Je působiště tíhové síly

U středově souměrných homogenních těles najdeme těžiště v geometrickém středu tělesa

Těžiště může ležet i mimo hmotu tělesa

Těžiště leží na průsečíku těžnic tělesa

Polohu těžiště můžeme zjistit experimentálně (podepřením tělesa) nebo výpočtem

Rovnovážné polohy tuhého tělesa

  1. Stálá (stabilní):
    Osa otáčení je nad těžištěm
    Po vychýlení se těleso vrací do stejné polohy
    Lze určit potenciální energii, ta se při vychýlení zvětšuje – zvětšuje se výška těžiště nad domluvenou hladinou

  2. Vratká (labilní):
    Osa otáčení je pod těžištěm
    Po vychýlení těleso zaujímá novou, stabilní polohu
    Při vychýlení se zmenšuje potenciální energie

  3. Volná (indiferentní):
    Osa otáčení leží v těžišti
    Těleso se při vychýlení ani nevrací zpátky, ani nezaujímá novou polohu
    Potenciální energie se při vychýlení nemění

Podmínky pro rovnovážnou polohu tělesa

  1. Platí momentová věta:

    M1⃗+M2⃗+...+Mn⃗=o⃗\vec{M_1} + \vec{M_2} + ... + \vec{M_n} = \vec{o}

  2. Výslednice sil působících na těleso je nulová:

    F1⃗+F2⃗+...+Fn⃗=o⃗\vec{F_1} + \vec{F_2} + ... + \vec{F_n} = \vec{o}

Stabilita tělesa

Změna stability tělesa

  1. Změna polohy těžiště

  2. Změna hmotnosti tělesa

  3. Těleso umístíme tak, aby bylo těžiště co nejdál od překotné hrany

Míru stability tělesa určuje vykonaná práce

Čím větší je vykonaná práce při změně polohy tělesa z polohy stálé do polohy vratké, tím je těleso stabilnější

Kinetická energie tuhého tělesa

  1. Pohyb posuvný:
    Tuhé těleso se skládá z několika homogenních částic
    Všechny části mají stejnou rychlost

    Ek=12m1v2+12m2v2+...+12mnv2  Ek=12(m1+m2+...+mn)  Ek=12mv2E_\text{k} = \frac{1}{2}m_1v^2 + \frac{1}{2}m_2v^2 + ... + \frac{1}{2}m_nv^2 \\~\\~ E_\text{k} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2 + ... + m_n) \\~\\~ E_\text{k} = \frac{1}{2}mv^2

  2. Pohyb otáčivý:
    V různých bodech tělesa je různá rychlost

    Ek=12m1v12+12m2v22+...+12mnvn2  Ek=12m1ω2r12+12m2ω2r22+...+12mnω2rn2  Ek=12ω2⋅(m1r12+m2r22+...+mnrn2)  J=m1r12+m2r22+...+mnrn2  Ek=12Jω2E_\text{k} = \frac{1}{2}m_1{v_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2}^2 + ... + \frac{1}{2}m_n{v_n}^2 \\~\\~ E_\text{k} = \frac{1}{2}m_1\omega^2r_1^2 + \frac{1}{2}m_2\omega^2r_2^2 + ... + \frac{1}{2}m_n\omega^2r_n^2 \\~\\~ E_\text{k} = \frac{1}{2}\omega^2 \cdot (m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + ... + m_nr_n^2) \\~\\~ J = m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + ... + m_nr_n^2 \\~\\~ E_\text{k} = \frac{1}{2}J\omega^2

    JJ ... moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení

    [J]=kg⋅m2[J] = \text{kg} \cdot \text{m}^2

    Kinetická energie závisí na poloze osy otáčení a na rozložení hmoty vůči ose otáčení

    JJ je různé pro různá tělesa (plné, duté, ...)

    Moment setrvačnosti je nejmenší pro těleso, jehož osa otáčení prochází těžištěm

    V případě, že je osa otáčení rovnoběžná s osu, která prochází těžištěm, a vzdálenost těchto os je dd (Steinerova věta):

    J=J0+md2J = J_0 + md^2