Gravitační pole

Gravitační pole

Pole = forma hmoty, která se projevuje silovými interakcemi

Gravitační síla je vždy přitažlivá

Gravitační pole je kolem všech těles

Newtonův všeobecný gravitační zákon

Každá 2 tělesa na sebe působí navzájem opačnými stejně velkými přitažlivými silami

Velikost gravitační síly je přímo úměrná hmotnosti a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti středů 2 stejnorodých těles tvaru koule

Fg=κm1m2r2F_g = \kappa \frac{m_1m_2}{r^2}

κ\kappa ... gravitační konstanta (také se značí GG, upřímně mám toto značení radši, ale na test radši piště tu kappu no)

κ=6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2\kappa = 6.67 \cdot 10^{-11} \space \text{N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{kg}^{-2}

Intenzita gravitačního pole

= Veličina, která popisuje gravitační pole a charakterizuje silové působení v daném místě pole

Značka: K⃗\vec{K}

Definiční vztah:

K⃗=Fg⃗m\vec{K} = \frac{\vec{F_g}}{m}

Směr je stejný, jako směr gravitační síly, působiště má ve středu tělesa o hmotnosti mm

[K]=N⋅kg−1[K] = \text{N} \cdot \text{kg}^{-1} Fg=κ⋅Mmr2  Fg=K⋅m  K=κ⋅Mr2F_g = \kappa \cdot \frac{Mm}{r^2} \\~\\~ F_g = K \cdot m \\~\\~ K = \kappa \cdot \frac{M}{r^2}

Intenzita gravitačního pole závisí na hmotnosti tělesa, které pole vytváří a na vzdálenosti místa od středu tělesa

Vektorový model gravitačního pole

Radiální gravitační pole

Nejvyšší intenzita gravitačního pole je na povrchu tělesa ve tvaru koule, se zvyšující se vzdáleností se intenzita snižuje

Homogenní gravitační pole

Ve všech bodech gravitačního pole je intenzita gravitačního pole stejná

Siločarový model gravitačního pole

Siločára = myšlená čára, jejíž tečna sestrojená v každém jejím bodě určuje směr intenzity gravitačního pole

Gravitační potenciální energie

Homogenní gravitační pole

Těleso o hmotnosti mm přemisťuje z výšky h1h_1 do nižší výšky h2h_2 gravitační síla

W=Fg⋅s  W=K⋅m⋅(h1−h2)  W=ΔEpW = F_g \cdot s \\~\\~ W = K \cdot m \cdot (h_1 - h_2) \\~\\~ W = \Delta E_p

Potenciální energie ve výšce hh:

Ep=m⋅K⋅hE_p = m \cdot K \cdot h

Gravitační potenciál

Je definován jako podíl gravitační potenciální energie tělesa o hmotnosti mm v daném místě pole a hmotnosti tohoto tělesa

φ=Epm  [φ]=J⋅kg−1\varphi = \frac{E_p}{m} \\~\\~ [\varphi] = \text{J} \cdot \text{kg}^{-1}

Skalární model radiálního gravitačního pole

Ekvipotenciální hladiny = hladiny se stejnou EpE_p – soustředné kružnice

Gravitační pole Slunce

Patří do něj Slunce, planety ve sluneční soustavě, pásy planetek, asteroidů, meteoritů, komety ve sluneční soustavě, umělé družice, satelity

Názory na vývoj gravitačního pole Slunce

Geocentrický názor = Země je středem vesmíru, tento názor zastával např. Ptolemaios

Heliocentrický názor = Slunce je středem vesmíru, 16. st., tento názor poprvé vyslovil Mikuláš Koperník, na jeho výzkum navázali Galileo Galilei, Johannes Kepler →\to 3 Keplerovy zákony

  1. Keplerův zákon:
    Planety obíhají po eliptických drahách málo odlišných od kružnic kolem Slunce, které je v jejich společném ohnisku
    Elipsa = množina bodů, jejichž součet vzdáleností od 2 pevně daných bodů je stejný
    E,FE, F ... ohniska
    aa ... hlavní poloosa
    bb ... vedlejší poloosa
    ee ... výstřednost = excentricita
    Perihelium = přísluní = bod nejblíže Slunci
    Afélium = odsluní = bod nejdále od Slunce

  2. Keplerův zákon:
    Průvodič planety opíše za stejný čas stejný obsah
    Průvodič = pomyslná úsečka spojující planetu a Slunce
    →\to Pohyb planety je nerovnoměrný, se zvyšující se vzdáleností planety od Slunce se snižuje její rychlost

  3. Keplerův zákon:
    Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií

    T12T22=a13a23\frac{{T_1}^2}{{T_2}^2} = \frac{{a_1}^3}{{a_2}^3}

Gravitační zrychlení

Fg=m⋅ag∧Fg=K⋅m  K=agF_g = m \cdot a_g \land F_g = K \cdot m \\~\\~ K = a_g

Intenzita gravitačního pole v daném místě pole je rovna gravitačnímu zrychlení, které uděluje tělesu v daném místě pole gravitační síla

K⃗=ag⃗\vec{K} = \vec{a_g}

Tíhová síla

Je výslednicí odstředivé síly pohybu kolem zemské osy a gravitační síly

Směr tíhové síly je svislý směr – určujeme olovnicí

FOS=m⋅ad  ad=ω2⋅r  FOS=m⋅ω2⋅rF_{OS} = m \cdot a_d \\~\\~ a_d = \omega^2 \cdot r \\~\\~ F_{OS} = m \cdot \omega^2 \cdot r

Na rovníku je rr největší, na pólech je rr nulové

Na rovníku platí:

FG⃗=Fg⃗\vec{F_G} = \vec{F_g}

Největší tíhová síla je na pólech, nejmenší je na rovníku

Pro tíhovou sílu platí:

Fg=m⋅gF_g = m \cdot g

→\to Největší tíhové zrychlení je na pólech, nejmenší je na rovníku

Působiště je v těžišti tělesa

Tíha

Značka: G⃗\vec{G}

= Tlaková síla na podložku nebo tahová síla na závěs

Pokud těleso nepůsobí na podložku, ani není zavěšeno, pak je ve stavu beztíže

Působiště tíhy je v místě styku s podložkou nebo v místě zavěšení

Směr a velikost tíhy je stejná, jako u tíhové síly

Radiální pole Země

Všechny pohyby mají počáteční rychlost, která je kolmá na intenzitu gravitačního pole

Počáteční rychlost se mění, podle její velikost se mění trajektorie, po kterých se tělesa pohybují

Trajektorie

  1. Část elipsy:
    Těleso padá k Zemi

  2. Celá elipsa:
    2 body:
    AA ... apogeum = nejvzdálenější bod od Země na trajektorii
    PP ... perigeum = nejbližší bod k Zemi na trajektorii

  3. Kružnice:
    Středem kružnice je střed Země
    Počáteční rychlost způsobující tuto trajektorii se nazývá kruhová rychlost ... vkv_\text{k}
    Fg=FdF_\text{g} = F_\text{d} (gravitační síla je rovna dostředivé síle)
    RZR_\text{Z} ... poloměr Země

    r=RZ+h  Fg=G⋅m⋅MZ(RZ+h)2  Fd=mvk2RZ+h  G⋅m⋅MZ(RZ+h)2=mvk2RZ+h  G⋅m⋅MZRZ+h=mvk2  vk=G⋅MZRZ+hr = R_\text{Z} + h \\~\\~ F_\text{g} = G \cdot \frac{m \cdot M_\text{Z}}{(R_\text{Z} + h)^2} \\~\\~ F_\text{d} = \frac{mv_\text{k}^2}{R_\text{Z} + h} \\~\\~ G \cdot \frac{m \cdot M_\text{Z}}{(R_\text{Z} + h)^2} = \frac{mv_\text{k}^2}{R_\text{Z} + h} \\~\\~ G \cdot \frac{m \cdot M_\text{Z}}{R_\text{Z} + h} = mv_\text{k}^2 \\~\\~ v_\text{k} = \sqrt{G \cdot \frac{M_\text{Z}}{R_\text{Z} + h}}

    Pokud h→0h \to 0, pak vk=7.9 km⋅s−1v_\text{k} = 7.9 \space \text{km} \cdot \text{s}^{-1} ... první kosmická rychlost

  4. Elipsa (protáhlejší, než předtím):
    vo>vkv_\text{o} > v_\text{k}

  5. Část paraboly:
    vo=vpv_\text{o} = v_\text{p}
    vpv_\text{p} ... parabolická rychlost = druhá kosmická rychlost
    Těleso trvale opouští gravitační pole Země

Pro opuštění oběžné dráhy Slunce je potřeba třetí kosmická rychlost = hyperbolická rychlost