Analytická geometrie ve 3D

Odchylky a vzdálenosti v prostoru

Odchylky

Odchylka φ\varphi dvou vektorů u⃗\vec{u} a v⃗\vec{v}:

cos⁡(φ)=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos(\varphi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

Odchylka φ\varphi dvou rovin ρ\rho a π\pi:

cos⁡(φ)=∣n⃗ρ⋅n⃗π∣∣n⃗ρ∣⋅∣n⃗π∣\cos(\varphi) = \frac{|\vec{n}_\rho \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{n}_\rho| \cdot |\vec{n}_\pi|}

Odchylka φ\varphi přímky pp a roviny ρ\rho:

sin⁡(φ)=∣u⃗p⋅n⃗ρ∣∣u⃗p∣⋅∣n⃗ρ∣\sin(\varphi) = \frac{|\vec{u}_p \cdot \vec{n}_\rho|}{|\vec{u}_p| \cdot |\vec{n}_\rho|}

Vzdálenosti

Vzdálenost bodu M[m1,m2,m3]M[m_1, m_2, m_3] a roviny ρ\rho:

ρ:ax+by+cz+d=0p:x=m1+aty=m2+btz=m3+cta(m1+at)+b(m2+bt)+c(m3+ct)+d=0a2+b2+c2t=−am1−bm2−cm3−dt=−am1−bm2−cm3−da2+b2+c2∣Mρ∣=∣MP∣=(at)2+(bt)2+(ct)2=∣t∣a2+b2+c2=∣am1+bm2+cm3+d∣a2+b2+c2=am1+bm2+cm3+d∣n⃗ρ∣\rho : ax + by + cz + d = 0 \\[0.5em] p : x = m_1 + at \\[0.5em] y = m_2 + bt \\[0.5em] z = m_3 + ct \\[0.5em] a(m_1 + at) + b(m_2 + bt) + c(m_3 + ct) + d = 0 \\[0.5em] a^2 + b^2 + c^2t = -am_1 - bm_2 - cm_3 - d \\[0.5em] t = \frac{-am_1 - bm_2 - cm_3 - d}{a^2 + b^2 + c^2} \\[1em] |M_\rho| = |MP| = \sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2} \\[0.5em] = |t|\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\[0.5em] = \frac{|am_1 + bm_2 + cm_3 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\[1em] = \frac{am_1 + bm_2 + cm_3 + d}{|\vec{n}_\rho|}

Vzdálenost 2 rovin – zvolíme bod v jedné z rovin a počítáme vzdálenost tohoto bodu a druhé roviny

Vzdálenost přímky a roviny – zvolíme bod na přímce a počítáme vzdálenost tohoto bodu a dané roviny

Vzdálenost bodu MM a přímky pp – zvolíme bod AA na přímce:

∣Mp∣=∣up⃗×AM⟶∣up⃗|M_p| = \frac{|\vec{u_p} \times \overset{\longrightarrow}{AM}|}{\vec{u_p}}

Vzdálenost 2 přímek – zvolíme bod na jedné z přímek a počítáme vzdálenost tohoto bodu a druhé přímky