Analytická geometrie ve 3D

Skalární součin v prostoru

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Př.:

u⃗=(1,−2,−3),v⃗=(9,3,2)u⃗⋅v⃗=9−6+6=9\vec{u} = (1, -2, -3), \vec{v} = (9, 3, 2) \\[0.5em] \vec{u} \cdot \vec{v} = 9 - 6 + 6 = 9

Skalární součin je komutativní, asociativní a distributivní:

a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗(k⋅a⃗)⋅b⃗=k⋅(a⃗⋅b⃗)a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \vec{b} \cdot \vec{a} \\[0.5em] (k \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} &= k \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) \\[0.5em] \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) &= \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \end{aligned}

Výpočet odchylky 2 vektorů:

cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}

Př.:

u⃗=(4,−1,2),v⃗=(2,3,5)cos⁡φ=8−3+102138=15798φ=57°56′\begin{aligned} \vec{u} &= (4, -1, 2), \vec{v} = (2, 3, 5) \\[0.5em] \cos \varphi &= \frac{8 - 3 + 10}{\sqrt{21} \sqrt{38}} = \frac{15}{\sqrt{798}} \\[1em] \varphi &= 57° 56' \end{aligned}

Kolmost a rovnoběžnost vektorů:

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0u⃗∥v⃗  ⟺  u⃗=kv⃗, k∈R\begin{aligned} \vec{u} \perp \vec{v} &\iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \\[0.5em] \vec{u} \parallel \vec{v} &\iff \vec{u} = k \vec{v}, \ k \in \R \end{aligned}

Pravotočivý systém

Vektory a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} tvoří pravotočivý systém, pokud prsty pravé ruky směřují od a⃗\vec{a} k b⃗\vec{b} a palec ukazuje směr c⃗\vec{c}

Vektorový součin v prostoru

Zápis:

u⃗×v⃗=w⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}

Podmínky:

w⃗⊥u⃗∧w⃗⊥v⃗u⃗,v⃗,w⃗ tvorˇıˊ pravotocˇivou baˊzi∣w⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡φ\begin{aligned} &\vec{w} \perp \vec{u} \land \vec{w} \perp \vec{v} \\[0.5em] &\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \ \text{tvoří pravotočivou bázi} \\[0.5em] &|\vec{w}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \varphi \end{aligned}

∣w⃗∣|\vec{w}| je roven obsahu rovnoběžníku, který tvoří vektory u⃗\vec{u} a v⃗\vec{v}

u⃗=(u1,u2,u3)v⃗=(v1,v2,v3)w⃗=u⃗×v⃗w⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\begin{aligned} \vec{u} &= (u_1, u_2, u_3) \\[0.5em] \vec{v} &= (v_1, v_2, v_3) \\[0.5em] \vec{w} &= \vec{u} \times \vec{v} \\[0.5em] \vec{w} &= (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1) \end{aligned}

Př.:

u⃗=(1,2,−4)v⃗=(4,0,3)w⃗=u⃗×v⃗w⃗=(2⋅3−(−4)⋅0,(−4)⋅4−1⋅3,1⋅0−2⋅4)w⃗=(6,−19,−8)\begin{aligned} \vec{u} &= (1, 2, -4) \vec{v} &= (4, 0, 3) \\[0.5em] \vec{w} &= \vec{u} \times \vec{v} \\[0.5em] \vec{w} &= (2 \cdot 3 - (-4) \cdot 0, (-4) \cdot 4 - 1 \cdot 3, 1 \cdot 0 - 2 \cdot 4) \\[0.5em] \vec{w} &= (6, -19, -8) \end{aligned}

Př.:

A[1,1,1], B[3,5,0], C[−4,2,1]u⃗=AB⃗=(2,4,−1)v⃗=AC⃗=(−5,1,0)w⃗=u⃗×v⃗=(4⋅0−(−1)⋅1,(−1)⋅(−5)−2⋅0,2⋅1−4⋅(−5))w⃗=(1,5,22)SABC=∣w⃗∣=12+52+222SABC=510≈22.6 j2\begin{aligned} &A[1, 1, 1], \ B[3, 5, 0], \ C[-4, 2, 1] \\[0.5em] \vec{u} &= \vec{AB} = (2, 4, -1) \\[0.5em] \vec{v} &= \vec{AC} = (-5, 1, 0) \\[0.5em] \vec{w} &= \vec{u} \times \vec{v} = (4 \cdot 0 - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot (-5) - 2 \cdot 0, 2 \cdot 1 - 4 \cdot (-5)) \\[0.5em] \vec{w} &= (1, 5, 22) \\[0.5em] S_{ABC} &= |\vec{w}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 22^2} \\[0.5em] S_{ABC} &= \sqrt{510} \approx 22.6 \ \text{j}^2 \end{aligned}

Smíšený součin

Výpočet (3 možnosti):

(a⃗×b⃗)⋅c⃗=(b⃗×c⃗)⋅a⃗=(c⃗×a⃗)⋅b⃗(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}

Objem rovnoběžnostěnu, který tvoří vektory u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}:

V=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣V = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|