Kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice

= Rovnice tvaru:

$ax^2$ ... kvadratický člen

$bx$ ... lineární člen

$c$ ... absolutní člen

Je-li $a = 1$, kvadratická rovnice je tzv. normovaná

Je-li $c = 0$, kvadratická rovnice je tzv. bez absolutního členu

Je-li $b = 0$, kvadratická rovnice je tzv. ryze kvadratická

Řešení

1. Rovnice bez absolutního členu:
   Vytkneme $x$

   Např.:

   $$2x^2 + 6x = 0 \\~\\~ 2x(x + 3) = 0 \\~\\~ K = \{0; -3\}$$

2. Ryze kvadratická rovnice:
   Např.:

   $$3x^2 - 27 = 0 \\~\\~ 3(x^2 - 9) = 0 \\~\\~ 3(x + 3)(x - 3) = 0 \\~\\~ K = \{-3; 3\}$$

   Další příklad:

   $$x^2 + 6 = 0 \\~\\~ K = \varnothing$$

3. Obecná kvadratická rovnice:

   $$ax^2 + bx + c = 0 \\~\\~ a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = 0 \\~\\~ a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \\~\\~ a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c \\~\\~ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\~\\~ x + \frac{b}{2a} = \plusmn \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\~\\~ x + \frac{b}{2a} = \plusmn \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\~\\~ x = - \frac{b}{2a} \plusmn \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\~\\~ x = \frac{-b \plusmn \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Diskriminant:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   $D > 0 \to$ 2 různá řešení

   $D = 0 \to$ 1 dvojnásobný kořen

   $D < 0 \to$ rovnice nemá reálné kořeny

   Má-li rovnice $ax^2 + bc + c = 0$ řešení $x_1, x_2$, pak kvadratický trojčlen lze rozložit na součin lineárních činitelů:

   $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

   Vietovy vzorce:

   Pro kořeny $x_1, x_2$ kvadratické rovnice $ax^2 + bc + c = 0$ platí vztahy:

   $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\~\\~ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

   ---

   14. 6. 2022

   Metoda substituce – např.:

   $$2x^4 - 5x^2 - 3 = 0 \\~\\~ y = x^2 \\~\\~ 2y^2 - 5y - 3 = 0 \\~\\~ D = 25 + 24 = 49 \\~\\~ y_{1, 2} = \frac{5 \plusmn 7}{4} \\~\\~ x^2 = 3 \\~\\~ x_{1, 2} = \plusmn \sqrt{3}$$

   Další příklad:

   $$x^6 - 28x^3 + 27 = 0 \\~\\~ y = x^3 \\~\\~ y^2 - 28y + 27 = 0 \\~\\~ (y - 27)(y - 1) = 0 \\~\\~ x^3 = 27 \\~\\~ x_1 = 3 \\~\\~ x^3 = 1 \\~\\~ x_2 = 1$$

   Další příklad:

   $$2(1 + x^2)^2 - 5(1 + x^2) - 3 = 0 \\~\\~ 2y^2 - 5y - 3 = 0 \\~\\~ y = x^2 + 1 \\~\\~ y_{1, 2} = \frac{5 \plusmn 7}{4} \\~\\~ x^2 = y - 1 \\~\\~ x_{1, 2} = \plusmn \sqrt{2}$$