15. 10. 2021

Reálná čísla, absolutní hodnota

Reálná čísla

= Délky úseček, čísla k nim opačná a $0$

= Racionální + iracionální čísla

Iracionální čísla

= Čísla, která není možno zapsat ve tvaru $\frac{a}{b}$ , kde $a, b \in \Z$

Např. $\sqrt{2}, \pi, e, \phi, ...$

$e$ ... Eulerovo číslo

$\phi$ ... Zlatý řez (poměr větší části k menší je stejný jako poměr celku k větší části)

Hodnota zlatého řezu

\frac{a}{b} = \frac{a + b}{a} \\~ \\~ a^2 = ab + b^2 \\~ \\~ a^2 - ab - b^2 = 0 \\~ \\~ D = b^2 + 4b^2 + 5b^2 \\~ \\~ a_1 = \frac{ b + b\sqrt{5} }{2} \\~ \\~ \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\~ \\~ \phi \doteq 1.618

Každému reálnému číslu je na číselné ose přiřazen právě 1 bod

Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla

Sestrojení odmocniny

Zadání: Chceme sestrojit úsečku dlouhou $\sqrt{5}$

$\sqrt{5} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{3^2 - 2^2}$

$\Rightarrow$ Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník s přeponou dlouhou $3 \space cm$ a odvěsnou dlouhou $2 \space cm$ $\Rightarrow$ druhá odvěsna má délku $\sqrt{5} \space cm$

Absolutní hodnota

Definice absolutní hodnoty čísla $a \in R$ :

Značka: $|a|$

|a| = a \Longleftrightarrow a \ge 0 \\~ \\~ |a| = -a \Longleftrightarrow a < 0

Geometrický význam absolutní hodnoty

$|a|$ je vzdálenost obrazu čísla $a$ na číselné ose od obrazu čísla $0$

$|a - b|$ je vzdálenost obrazů čísel $a, b$ na číselné ose

19. 10. 2021

Příklad:

a \in \R \\~ \\~ |a| < 3 \\~ \\~ a \in (-3; 3)

Příklad:

x \in \R \\~ \\~ |x - 3| = 4 \\~ \\~ x \in \{-1; 7\}

Věty

Pro $a \in R$ platí:

|a| = |-a| \\~ \\~ |a ⋅ b| = |a| ⋅ |b| \\~ \\~ |\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}; b \ne 0 \\~ \\~ |a + b| \le |a| + |b| \\~ \\~ |a - b| \ge |a| - |b|