21. 10. 2022
\space Plyny Kapaliny Pevné látky Pohyb částic Kmitavý, rotační, posuvný Kmitavý, rotační, posuvný Kmitavý Mezery > > > ≈ \approx ≈ < < < Potenciální a kinetická E E E E p < E k E_p < E_k E p < E k E p ≈ E k E_p \approx E_k E p ≈ E k E p > E k E_p > E_k E p > E k Rovnovážná poloha Žádná ... ...
= Zjednodušený model reálných plynů
Rozměry molekul jsou zanedbatelně malé v porovnání se střední vzdáleností molekul
Molekuly na sebe navzájem nepůsobí přitažlivými silami
Vzájemné srážky molekul a srážky se stěnou nádobou jsou dokonale pružné
Rychlosti nárazu před nárazem a po nárazu jsou stejné
Vychází z Gaussovy křivky
f f f
Maximum f → v p f \to v_p f → v p
Kinetická energie molekuly s rychlostí v 1 v_1 v 1
E k 1 = 1 2 m 0 v 1 2 E_{k_1} = \frac{1}{2} m_0 v_1^2 E k 1 = 2 1 m 0 v 1 2 Kinetická energie N 1 N_1 N 1 v 1 v_1 v 1
E k N 1 = N 1 E k 1 = 1 2 m 0 v 1 2 E k N 2 = 1 2 m 0 v 2 2 ⋮ E k N i = 1 2 m 0 v i 2 \begin{align*}
E_{k_{N_1}} &= N_1 E_{k_1} = \frac{1}{2} m_0 v_1^2 \\
E_{k_{N_2}} &= \frac{1}{2} m_0 v_2^2 \\
&\vdots \\
E_{k_{N_i}} &= \frac{1}{2} m_0 v_i^2
\end{align*} E k N 1 E k N 2 E k N i = N 1 E k 1 = 2 1 m 0 v 1 2 = 2 1 m 0 v 2 2 ⋮ = 2 1 m 0 v i 2 Kinetická energie všech N N N
E k N = E k N 1 + E k N 2 + . . . + E k N i E k N = 1 2 m 0 ( N 1 v 1 2 + N 2 v 2 2 + . . . + N i v i 2 ) \begin{align*}
E_{k_N} &= E_{k_{N_1}} + E_{k_{N_2}} + ... + E_{k_{N_i}} \\
E_{k_N} &= \frac{1}{2} m_0 (N_1 v_1^2 + N_2 v_2^2 + ... + N_i v_i^2)
\end{align*} E k N E k N = E k N 1 + E k N 2 + ... + E k N i = 2 1 m 0 ( N 1 v 1 2 + N 2 v 2 2 + ... + N i v i 2 ) Vybereme jednu rychlost, pomocí které spočítáme stejnou kinetickou energii, jako je suma kinetických energií všech částic → \to → střední kvadratická rychlost
1 2 N m 0 v k 2 = 1 2 m 0 ( N 1 v 1 2 + N 2 v 2 2 + . . . + N i v i 2 ) \frac{1}{2} N m_0 v_k^2 = \frac{1}{2} m_0 (N_1 v_1^2 + N_2 v_2^2 + ... + N_i v_i^2) 2 1 N m 0 v k 2 = 2 1 m 0 ( N 1 v 1 2 + N 2 v 2 2 + ... + N i v i 2 ) Pro rychlost každé molekuly v k 2 v_k^2 v k 2
v k 2 = N 1 v 1 2 + N 2 v 2 2 + . . . + N i v i 2 N v_k^2 = \frac{N_1 v_1^2 + N_2 v_2^2 + ... + N_i v_i^2}{N} v k 2 = N N 1 v 1 2 + N 2 v 2 2 + ... + N i v i 2
Střední kvadratická rychlost je rychlost, kterou lze nahradit rychlosti pohybu všech molekul, přičemž se celková kinetická energie molekul nezmění.
24. 10. 2022
Kinetická energie molekuly ideálního plynu závisí na teplotě – čím vyšší je teplota, tím vyšší bude kinetická energie a střední kvadratická rychlost
Pro 1 molekulu platí:
E k = 1 2 m 0 v k 2 E k = 3 2 k T v k = 3 k T m 0 \begin{align*}
E_k &= \frac{1}{2} m_0 v_k^2 \\[0.5em]
E_k &= \frac{3}{2} k T \\[0.5em]
v_k &= \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}
\end{align*} E k E k v k = 2 1 m 0 v k 2 = 2 3 k T = m 0 3 k T Vztah pro všechny částice získáme vynásobením počet částic N N N
k k k Boltzmannova konstanta
k = 1.38 ⋅ 1 0 − 23 J ⋅ K − 1 k = 1.38 \cdot 10^{-23} \ \text{J} \cdot \text{K}^{-1} k = 1.38 ⋅ 1 0 − 23 J ⋅ K − 1 Je způsoben fluktuací plynu = nárazy molekul na stěnu a vzájemné nárazy molekul
Pružné srážky ⟹ \implies ⟹
p = F S ⟹ p = 1 3 ⋅ N V ⋅ m 0 ⋅ v k 2 p = N V 3 m 0 v k 2 F = m ⋅ a = m ⋅ Δ v Δ t = Δ p Δ t F ⃗ = Δ p ⃗ Δ t \begin{align*}
p &= \frac{F}{S} \\[1em]
\implies p &= \frac{1}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot m_0 \cdot v_k^2 \\[1em]
p &= \frac{N_V}{3} m_0 v_k^2 \\
F &= m \cdot a = m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t} \\
\vec{F} &= \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}
\end{align*} p ⟹ p p F F = S F = 3 1 ⋅ V N ⋅ m 0 ⋅ v k 2 = 3 N V m 0 v k 2 = m ⋅ a = m ⋅ Δ t Δ v = Δ t Δ p = Δ t Δ p N V N_V N V 1 m 3 1 \ \text{m}^3 1 m 3
N V = N V N_V = \frac{N}{V} N V = V N