Rovnoměrný pohyb po kružnici

Rovnoměrný pohyb po kružnici

{v}=konst\{v\} = \text{konst}

Vektor okamžité rychlosti není konstantní – velikost je stejná, ale směr se mění

Vektor okamžité rychlosti je tečna na kružnici (trajektorii)

Úsečka spojující střed kružnice a hmotný bod se nazývá průvodič

v=ΔsΔtv = \frac{\Delta s}{\Delta t}

Δφ\Delta \varphi ... úhlová dráha
ω\omega ... úhlová rychlost

ω=ΔφΔt  ω⃗=konst  [ω]=rad⋅s−1\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} \\~\\~ \vec{\omega} = \text{konst} \\~\\~ [\omega] = \text{rad} ⋅ \text{s}^{-1}

Radián je jednotka, která odpovídá úhlu příslušísímu oblouku stejně dlouhému jako je poloměr kružnice

360°... 2πr  360°... 2π⋅1 rad  180°... π rad360° ... \space 2 \pi r \\~\\~ 360° ... \space 2 \pi ⋅ 1 \space \text{rad} \\~\\~ 180° ... \space \pi \space \text{rad}

Pohyb po kružnici je periodický děj ⇒\Rightarrow zavádíme 2 veličiny: perioda (TT) a frekvence (ff)

[T]=s  [f]=Hz  f=1T[T] = \text{s} \\~\\~ [f] = \text{Hz} \\~\\~ f = \frac{1}{T}

TT – doba jednoho oběhu
ff – počet oběhů hmotného bodu po kružnici za 1 s1 \space \text{s}

ω=2πT=2π⋅f  v=ΔsΔt=Δφ⋅rΔt=ω⋅r\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi ⋅ f \\~\\~ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\Delta \varphi ⋅ r}{\Delta t} = \omega ⋅ r

Zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Mění se směr vektoru okamžité rychlosti ⇒\Rightarrow můžeme definovat zrychlení

a⃗=Δv⃗Δt  v⃗=v2⃗+(−v1⃗)\vec{a} = \frac{\vec{\Delta v}}{\Delta t} \\~\\~ \vec{v} = \vec{v_2} + (-\vec{v_1})

Δv⃗\vec{\Delta v} míří vždy do středu kružnice ⇒\Rightarrow Δa⃗\vec{\Delta a} míří vždy do středu kružnice

ad⃗\vec{a_d} ... dostředivé/normálové zrychlení

ad⃗⊥v2⃗  ∣ad⃗∣=∣v⃗∣Δt\vec{a_d} \perp \vec{v_2} \\~\\~ |\vec{a_d}| = \frac{|\vec{v}|}{\Delta t}

Výpočet délky oblouku

Ve stupňové míře:

Δs=2πr⋅Δφ360\Delta s = \frac{2 \pi r ⋅ \Delta \varphi}{360}

V obloukové míře:

Δs=Δφ⋅r\Delta s = \Delta \varphi ⋅ r

Výpočet zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Pomocí rychlosti:

Δφ=∣Δv⃗∣∣v2⃗∣=∣Δv⃗∣v  Δsr=∣Δv⃗∣v  v⋅Δtr=∣Δv⃗∣v  v2r=∣Δv⃗∣Δt  ad=v2r\Delta \varphi = \frac{|\vec{\Delta v}|}{|\vec{v_2}|} = \frac{|\vec{\Delta v}|}{v} \\~\\~ \frac{\Delta s}{r} = \frac{|\vec{\Delta v}|}{v} \\~\\~ \frac{v ⋅ \Delta t}{r} = \frac{|\vec{\Delta v}|}{v} \\~\\~ \frac{v^2}{r} = \frac{|\vec{\Delta v}|}{\Delta t} \\~\\~ \bold{a_d = \frac{v^2}{r}}

Pomocí úhlové rychlosti:

v=ω⋅r  ad=ω2r2r  ad=ω2⋅rv = \omega ⋅ r \\~\\~ a_d = \frac{\omega^2 r^2}{r} \\~\\~ \bold{a_d = \omega^2 ⋅ r}

Pomocí periody nebo frekvence:

ω=2πT=2πf  ad=4π2⋅rT2=4π2f2r\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f \\~\\~ \bold{a_d = \frac{4\pi^2 ⋅ r}{T^2} = 4 \pi^2 f^2 r}

Nerovnoměrný pohyb po kružnici

at⃗\vec{a_t} ... tečné zrychlení
an⃗=ad⃗\vec{a_n} = \vec{a_d} ... normálové (dostředivé) zrychlení

an⃗+at⃗=a⃗\vec{a_n} + \vec{a_t} = \vec{a}

Výsledné zrychlení je určeno pomocí Pythagorovy věty

∣a⃗∣=ad2+at2|\vec{a}| = \sqrt{{a_d}^2 + {a_t}^2}

Skládání pohybů

Princip nezávislosti pohybů: Koná-li HB více pohybů současně, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal tyto pohyby po sobě v libovolném pořadí