Derivace ve fyzice

Matematický význam derivace

Δ→d\Delta \to \text{d}

Sečna →\to tečna

ΔyΔx=tan⁡(α)lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan (\alpha) \\[1em] \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Př.:

f(x)=x2f′(x)=x2−x02x−x0=(x+x0)(x−x0)x−x0=x+x0=2x\begin{align*} f(x) &= x^2 \\[0.5em] f'(x) &= \frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0} = \frac{(x + x_0)(x - x_0)}{x - x_0} = x+ x_0 = 2x \end{align*}

Př.:

f(x)=x3f′(x)=x3−x03x−x0=(x−x0)(x2+xx0+x02)x−x0=x2+xx0+x02=3x2\begin{align*} f(x) &= x^3 \\[0.5em] f'(x) &= \frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} = \frac{(x - x_0)(x^2 + xx_0 + x_0^2)}{x - x_0} = x^2 + xx_0 + x_0^2 = 3x^2 \end{align*}

Fyzikální význam derivace

r⃗A+Δr⃗=r⃗BΔr⃗Δt=vdrdt=v\begin{align*} \vec{r}_\text{A} + \Delta \vec{r} &= \vec{r}_\text{B} \\[0.5em] \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} &= v \\[1em] \frac{\text{d}r}{\text{d}t} &= v \end{align*}

→\to Rychlost je první derivace dráhy podle času

ΔvΔt=advdt=a\begin{align*} \frac{\Delta v}{\Delta t} &= a \\[1em] \frac{\text{d}v}{\text{d}t} &= a \end{align*}

→\to Zrychlení je první derivace rychlosti podle času / druhá derivace dráhy podle času

Tabulka derivací vybraných funkcí

y=c⟶y′=0y=xn⟶y′=nxn−1y=ex⟶y′=exy=ax⟶y′=axln⁡(a)y=ln⁡(x)⟶y′=1xy=log⁡(x)⟶y′=1xln⁡(a)y=sin⁡(x)⟶y′=cos⁡(x)y=cos⁡(x)⟶y′=−sin⁡(x)y=tan⁡(x)⟶y′=sec⁡2(x)\begin{align*} y = c &\longrightarrow y' = 0 \\[0.5em] y = x^n &\longrightarrow y' = nx^{n - 1} \\[0.5em] y = e^x &\longrightarrow y' = e^x \\[0.5em] y = a^x &\longrightarrow y' = a^x \ln(a) \\[0.5em] y = \ln(x) &\longrightarrow y' = \frac{1}{x} \\[0.5em] y = \log(x) &\longrightarrow y' = \frac{1}{x \ln(a)} \\[1em] y = \sin(x) &\longrightarrow y' = \cos(x) \\[0.5em] y = \cos(x) &\longrightarrow y' = -\sin(x) \\[0.5em] y = \tan(x) &\longrightarrow y' = \sec^2(x) \end{align*}

Derivace složených funkcí

(u±v)′=u′±v′(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)\begin{align*} (u \plusmn v)' &= u' \plusmn v' \\[0.5em] (u \cdot v)' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\[0.5em] \left( \frac{u}{v} \right)' &= \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \\[1em] [f(g(x))]' &= f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align*}