Kmity a vlny

Úvod do kmitů a vln

Témata: tlumené kmity, nucené kmity, Dopplerův jev

y=ymsin⁡(ωt+φ0)v=ymωcos⁡(ωt+φ0)a=−ymω2sin⁡(ωt+φ0)\begin{align*} y &= y_\text{m} \sin(\omega t + \varphi_0) \\[0.5em] v &= y_\text{m} \omega \cos(\omega t + \varphi_0) \\[0.5em] a &= - y_\text{m} \omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0) \end{align*}

Tlumené kmity

Perioda u pružiny:

T=2πmkT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

U kmitání pružiny působí kromě tíhové a setrvačné síly také odporová síla R⃗\vec{R}, její velikost závisí na koeficientu odporu daného prostředí

Spojením amplitud dostaneme křivku e−bte^{-bt}

y=yme−btsin⁡(ωt+φ0)y = y_\text{m} e^{-bt} \sin(\omega t + \varphi_0)

bb ... součinitel útlumu

[b]=s−1[b] = \text{s}^{-1}

Výpočet úhlové frekvence tlumených kmitů:

ωt=ω02−b2\omega_\text{t} = \sqrt{\omega_0^2 - b^2}

  1. ω02>b2→\omega_0^2 > b^2 \to tlumení

  2. ω02<b2→\omega_0^2 < b^2 \to aperiodický pohyb

  3. ω02=b2→\omega_0^2 = b^2 \to kritické tlumení

Útlum

Značka: λ\lambda

λ=ym1ym2λ=yme−btyme−b(t+Tt)λ=ebTt[λ]=1\begin{align*} \lambda &= \frac{y_{\text{m}_1}}{y_{\text{m}_2}} \\[0.75em] \lambda &= \frac{y_\text{m} e^{-bt}}{y_\text{m} e^{-b(t + T_\text{t})}} \\[1em] \lambda &= e^{b T_\text{t}} \\[0.5em] [\lambda] &= 1 \end{align*}

Logaritmický dekrement

δ=bTtδ=ln⁡(λ)\begin{align*} \delta &= b T_\text{t} \\[0.5em] \delta &= \ln(\lambda) \end{align*}

Energie

Při ∣y∣=ym|y| = y_\text{m}:

E=12kym2E = \frac{1}{2} k y_\text{m}^2

Při v=vmv = v_\text{m}:

E=12mvm2E = \frac{1}{2} m v_\text{m}^2

V libovolné pozici:

E=12(kym2+mvm2)E=12kym02e−2btE=E0e−2bt\begin{align*} E &= \frac{1}{2} \left( k y_\text{m}^2 + m v_\text{m}^2 \right) \\[1em] E &= \frac{1}{2} k y_{\text{m}_0}^2 e^{-2bt} \\[1em] E &= E_0 e^{-2bt} \end{align*}

Nucené (buzené) kmitání

Musíme dodat další sílu, abychom působili proti síle odporové

Vnější zdroj kmitů musí mít stejnou frekvenci →\to rezonance

ω0=2πf0=2πT0T=2πl⋅Cωr=ω02−2b2\begin{align*} \omega_0 &= 2 \pi f_0 = \frac{2 \pi}{T_0} \\[0.5em] T &= 2 \pi \sqrt{l \cdot C} \\[0.5em] \omega_\text{r} &= \sqrt{\omega_0^2 - 2 b^2} \end{align*}

Kyvadlo

Kyvadlo = zařízení, ve kterém se harmonicky mění parametry

Kyvadlo zachovává rovinu kyvu

Typy kyvadel:

  1. Matematické kyvadlo:

    Fyzikální model (je ideální – reálné je "fyzické kyvadlo")

    Hmotný bod na nehmotném závěsu

    Platí α<5°\alpha < 5°

    T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

    Umožňuje měřit gg:

    g=4π2lT2g = 4 \pi^2 \frac{l}{T^2}

  2. Pružinový oscilátor:

    T=2πmkT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

    kk ... tuhost pružiny

  3. Fyzické kyvadlo:

    M=J⋅εM=Ft⋅d\begin{align*} M &= J \cdot \varepsilon \\[0.5em] M &= F_\text{t} \cdot d \end{align*}

    MM ... moment síly

    JJ ... moment setrvačnosti

    ε\varepsilon ... úhlové zrychlení

    T=2πJmglT = 2 \pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}

  4. Galileovo kyvadlo:

    Na každé straně jiná délka, ale zákon zachování energie platí

    Ek=Ep12mv2=mghv=2gh\begin{align*} E_\text{k} &= E_\text{p} \\[0.5em] \frac{1}{2} mv^2 &= mgh \\[0.5em] v &= \sqrt{2gh} \\[0.5em] \end{align*}

  5. Maxwellovo kyvadlo:

    Jojo, setrvačník

    Anharmonické kmity (ne sin⁡\sin)

    Ek=EpE_\text{k} = E_\text{p}

    EkE_\text{k} otáčivý i posuvný pohyb

    Ek=12mv2+12Jω2E_\text{k} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} J \omega^2

    Kyvadlo zachovává rovinu kyvu

  6. Machovo kyvadlo:

    Těleso je na pevném závěsu

    Doba kmitu je závislá na úhlu

    Určení gg v závislosti na zeměpisné šířce, určení zeměpisné šířky v závislosti na gg

    T=2πlgcos⁡(α)g′=gcos⁡(α)\begin{align*} T &= 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g} \cos(\alpha)} \\[0.5em] g' &= g \cos(\alpha) \end{align*}

  7. Foucaltovo kyvadlo:

    Důkaz, že Země rotuje kolem osy, protože kyvadlo zachovává rovinu kyvu

    Pantheon Paříž

  8. Torzní kyvadlo:

    Torze = stočení

    Kroucení vlákna, tyče nebo drátu (ne provazu)

    T=2πJκT = 2 \pi \sqrt{\frac{J}{\kappa}}

    JJ ... moment setrvačnosti

    κ\kappa ... tuhost ve zkrutu = torzní tuhost – vlastnost materiálu

  9. Blackburnovo kyvadlo:

    2 kyvadla – kmitají v kolmých směrech

    Složené kmitání

    Vznikají tzv. Lissajousovy křivky

  10. Pohlovo kyvadlo:

    Demonstrace nucených kmitů (rezonance)

  11. LC oscilátor:

    Též elektromagnetický oscilátor

    T=2πLCT = 2 \pi \sqrt{LC}

    LL ... indukčnost cívky

    CC ... kapacita oscilátoru

  12. Další kyvadla – kapalinové, kónické, balistické, ...