Analytická geometrie

Převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou $\to$ řešení soustavy rovnic

Číselná osa – vytvoříme z libovolné přímky tak, že zvolíme bod $O$ (počátek) a bod $I$ tak, že $|OI| = 1$

Každému bodu $X$ přiřadíme číslo $x$:

• Pokud $X \in \overset{\longrightarrow}{OI}$, pak $X = |OX|$
• Pokud $X$ je na polopřímce opačné k $\overset{\longrightarrow}{OI}$, pak $X = -|OX|$

Kartézská soustava souřadnic

Značíme $Oxy$

Dvojce číselných os $x, y$ v rovině:

• Jsou nazvájem kolmé
• Jejich průsečík odpovídá $O$

Libovolný bod $A[a_1, a_2]$ leží na rovnoběžkách s osami

Vzdálenonst bodů

1. Na přímce:

   Máme body $A[a]$ a $B[b]$

   $$|AB| = |a - b|$$

2. V rovině:

   Máme body $A[a_1, a_2]$ a $B[b_1, b_2]$

   $$|AB| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}$$

Střed úsečky

1. Na přímce:

   Máme body $A[a]$ a $B[b]$

   $$s = \frac{a + b}{2}$$

2. V rovině:

   Máme body $A[a_1, a_2]$ a $B[b_1, b_2]$

   $$\begin{align*} &S \left[ \frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2} \right] \\[1em] &S = \frac{A + B}{2} \end{align*}$$

Vektory

Orientovaná úsečka

= Úsečka, jejíž 1 krajní bod je počáteční, druhý koncový

Značení: $\overset{\longrightarrow}{AB}$

Pokud $A = B$, pak je orientovaná úsečka $\overset{\longrightarrow}{AB}$ nulová

Definice shodně orientovaných úsečkek $\overset{\longrightarrow}{AB}$ a $\overset{\longrightarrow}{CD}$ :

1. Přímky $\overset{\longleftrightarrow}{AB}$ a $\overset{\longleftrightarrow}{CD}$ jsou rovnoběžné a různé

2. Buď koncové body $B, D$ leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou $\overset{\longleftrightarrow}{AC}$, nebo $\overset{\longmapsto}{AB} \subset \overset{\longmapsto}{CD}$, nebo $\overset{\longmapsto}{CD} \subset \overset{\longmapsto}{AB}$

Definice vektoru

Vektor = množina všech shodně orientovaných úseček, které mají stejnou velikost

Každá úsečka z této množiny se nazývá umístění vektoru

Nulový vektor ($\vec{0}$) odpovídá nulové úsečce

Pro 2 orientované úsečky $\overset{\longrightarrow}{KL}$ a $\overset{\longrightarrow}{MN}$, které jsou 2 různá umístění téhož vektoru platí, že $S_{KN} = S_{LM}$

Souřadnice vektoru

Velikost vektoru

Vždy platí:

Součet a rozdíl vektorů

Sčítání vektorů je komutativní, asociativní

Opačný vektor k vektoru $\vec{u} = \overset{\longrightarrow}{KL}$ je vektor $-\vec{u} = \overset{\longrightarrow}{LK}$

Rozdíl vektorů:

Násobek vektoru

Lineární kombinace vektorů