Pravděpodobnost

Pokus

Dělení:

• Deterministický pokus:

  Vede vždy ke stejnému výsledku

  Např. koroze železa

• Náhodný pokus:

  Vede k různým výsledkům

  Např. hod kostkou

Množinu všech možných výsledků pokusu značíme $\Omega$

Výsledky se nazvájem vylučují, jeden z nich musí nastat

$\Omega$ může být konečná i nekonečná

Prvky $\Omega$ značíme $\omega_1, \omega_2, ..., \omega_k$

Náhodný jev

= Libovolná podmnožina $\Omega$

Značení: $A, B, C, ...$

Výsledek pokusu je příznivý jevu = $\omega_1 \in A$

Jistý jev = $A = \Omega$

Nemožný jev = $A = \varnothing$

Dělení:

• Elementární jevy:

  = Jednoprvkové jevy

• Složené jevy:

  • Podjev:

    $$B \subset A$$

  • Rovnocenné jevy:

    $$A = B$$

  • Sjednocení jevů:

    $$A \cup B$$

  • Průnik jevů:

    $$A \cap B$$

  • Neslučitelné jevy:

    $$A \cap B = \varnothing$$

  • Opačný jev:

    $$\overline{A}$$

Pravděpodobnost

Pravděpodobnost náhodného jevu je reálné číslo z $\langle 0, 1 \rangle$, které vyjadřuje míru možnosti, že tento jev nastane

$P(A)$ ... pravděpodobnost jevu $A$

Někdy vyjadřujeme i pomocí procent mezi $0 \ \%$ a $100 \ \%$

3 způsoby definice pravděpodobnosti:

1. Klasická definice pravděpobonosti:

   Máme náhodný pokus $A$ s konečným počtem výsledků, všechny výsledky jsou stejně možné a vzájemně se vylučují

   $$P(A) = \frac{m}{n}$$

   $m$ ... počet všech výsledků příznivých jevu $A$

   $n$ ... počet všech možných výsledků

4 z 25, propočítal 20

20/25 * 19/24 * 18/23 * 17/22 = 38.3 %

2. Geometrická definice pravděpodobnosti:

   $\Omega$ ... nekonečný počet prvků stejně možných, která vytvářejí ohraničenou a uzavřenou oblast, pro jev $A$ platí $A \subseteq \Omega$

   $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

   $|\Omega|$ ... míra (velikost) $\Omega$

   $|A|$ ... míra jevu $A$

3. Statistická definice pravděpodobnosti:

   Opakujeme-li náhodný pokus $n$-krát po sobě, a označíme $m$ počet, kdy nastal jev $A$

   $$P(A) \approx \frac{m}{n}$$

   $\frac{m}{n}$ ... relativní četnost jevu $A$

Pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů

Pravděpodobnost opačného jevu

Pravděpodobnost sjednocení libovolných jevů

Nezávislé jevy

Jevy $A, B$ jsou nezávislé = to, že nastane jeden, neovlivní to, žda nastane druhý

Jsou-li $A, B$ nezávislé, pak jsou nezávislé i $A, \overline{B}$; $\overline{A}, B$; $\overline{A}, \overline{B}$

Pravděpodobnost průniku nezávislých jevů

Nezávislé pokusy

Pravděpodobnost, že při násobení pokusu nastane výsledek $\omega_1$, neovlivní pravděpodobnost, že při druhém pokusu nastane $\omega_2$

Binomické rozdělení pravděpodobnosti

Náhodný pokus $\to$ 2 možné výsledky: úspěch a neúspěch

Pravděpodobnost úspěchu je $p \iff$ pravděpodobnost neúspěchu je $1 - p$

Při nezávislém opakování pokusu nastane $k$-krát úspěch z $n$ pokusů:

Podmíněná pravděpodobnost

$P(A \mid B)$ ... pravděpodobnost, že nastane $A$ za podmínky, že nastalo $B$

Definiční vzorec:

Výpočet pravděpodobnosti průniku 2 libovolných jevů:

Celková pravděpodobnost

$B_1, B_2$ ... disjunktní jevy