Stereometrie

= Geometrie v prostoru (kontrast s planimetrií)

Opakování značení

• Bod: $A, B, C, ...$
• Přímka: $p, q, r, ...$
• Rovina: $\rho, \alpha, \beta$

Tělesa

Krychle

6 shodných čtvercových stěn

Protější stěny jsou rovnoběžné, vedlejší strany jsou kolmé

Kvádr

3 dvojice shodných obdélníkových stěn

O stěnách platí to samé, jako v krychli

Kolmý hranol

Podstavy mají tvar $n$-úhelníku

Stěny jsou obdélníkové, jsou kolmé k podstavám

Jehlan

Podstavu tvoří $n$-úhelník

Stěny tvoří trojúhelníky

Válec

Podstavy mají tvar kruhu

Kužel

Podstava má tvar kruhu

Vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky, na které leží jedna z odvěsen

Promítání

Rovnoběžné promítaní

Je daná průmětna (= rovina) a směr promítání (= přímka $s$)

Každému bodu v prostoru přiřadíme bod na průmětně tak, že $AA' \parallel s$

Volné rovnoběžné promítání

Úsečka kolmá k průmětně se zobrazuje pod úhlem $45°$ a zkracuje se na polovinu

Způsoby promítání krychle

• Pravý nadhled
• Levý nadhled
• Pravý podhled
• Levý podhled

Polohové vlastnosti

Vzájemná poloha 2 bodů:

• Splývají
• Jsou různé

Každá přímka je jednoznačně určena dvěma různými body

Vzájemná poloha bodu ($A$) a přímky ($p$):

• $A \in p$
• $A \notin p$

Vzájemná poloha 2 přímek:

• Různoběžky – 1 společný bod
• Rovnoběžky – leží ve stejné rovině a nemají společný bod
• Mimoběžky – neleží ve stejné rovině a nemají společný bod
• Totožné přímky – nekonečně mnoho společných bodů

Každá rovina je jednoznačně určena:

• 3 body, které neleží na 1 přímce
• Přímkou a bodem, který na ní neleží
• 2 různoběžkami
• 2 rovnoběžkami

Vzájemná poloha bodu ($A$) a roviny ($\rho$):

• $A \in \rho$
• $A \notin \rho$

Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku

Rovnoběžnost je tranzitivní vlastnost:

Platí:

Vzájemná poloha přímky ($p$) a roviny ($\rho$):

• Přímka je rovnoběžná s rovinou ($p \parallel \rho$)
• Přímka je různoběžná s rovinou – 1 společný bod
• Přímka leží v rovině ($p \subseteq \rho$)

Jestliže v rovině leží 2 různé body přímky, pak $p \subseteq \rho$

Platí:

Vzájemná poloha 2 rovin:

• Roviny jsou různoběžné
• Roviny jsou rovnoběžné
• Roviny jsou totožné

Řezy těles

Průsečík přímky s rovinou = průsečík dané přímky a průmětu jejích bodů do dané roviny

Řez tělesa = průnik roviny s tělesem

Obvod řezu záleží na povrchu tělesa

Využívané vlastnosti:

1. Jestliže 2 různé body leží v 1 rovině, přímka jimi určená leží v téže rovině
2. Průsečnice 2 rovnoběžných rovin s třetí rovinou jsou rovnoběžné
3. Jestliže se přímka $p$ protíná s přímkou $r$ v bodě $R$, pak bodem $R$ prochází i přímka $q$ (za předpokladu, že $p$ je průsečnice $\alpha$ a $\beta$, $r$ je průsečnice $\beta$ a $\gamma$ a $q$ je průsečnice $\alpha$ a $\gamma$)

Průnik přímky s povrchem tělesa

Najdeme rovinu, ve které přímka leží

Sestrojíme řez tělesa rovinou

Průnik přímky s řezem = průnik přímky s povrchem tělesa