Kmitání tělesa

Př.: Závaží na pružince, kyvadlo v metronomu, tlapka čínské kočky

Oscilátory = tělesa vykonávající kmitavý pohyb

Typy mechanických oscilátorů

  1. Matematické kyvadlo:

    Hmotné těleso na nehmotném závěsu

  2. Těleso zavěšené na pružince:

    Např. bungee jumping

  3. Fyzické kyvadlo:

    Např. tyč upevněná na jednom konci

  4. Kapalina v trubici

  5. Hodinový nepokoj

Kmitavý pohyb

Je to periodický děj

Kmit = periodicky opakující se část kmitavého pohybu

Kyv = polovina kmitu

Perioda = doba kmitu = čas, za který přeběhne jeden kmit

[T]=s[T] = \text{s}

Frekvence = kmitočet = počet kmitů za jednu sekundu

f=1T[f]=1s=Hz\begin{align*} f &= \frac{1}{T} \\[0.5em] [f] &= \frac{1}{\text{s}} = \text{Hz} \end{align*}

Dělíme na přímočarý a křivočarý kmitavý pohyb

Kmitavý pohyb může být posuvný i otáčivý

Jedná se o pohyb nerovnoměrný (= mění se rychlost)

Příčina pohybu matematického kyvadla je tíhová síla, příčina pohybu tělesa zavěšeného na pružince je síla pružnosti

Pokud je grafem kmitavého pohybu sinusoida, pak se nazývá harmonický kmitavý pohyb

Kinematika kmitavého pohybu

V rovnovážné poloze je výslednice sil působících na oscilátor nulová →\to těleso je v klidu

Pružinový oscilátor umístíme na svislou osu, rovnovážnou polohu umístíme do počátku (bod OO)

Veličinu dráha (ss) nahrazujeme veličinou okamžitá výchylka (yy) = vzdálenost tělesa od rovnovážné polohy

Nad rovnovážnou polohou platí y>0y > 0, pod rovnovážnou polohou platí y<0y < 0

Amplituda výchylky (ymy_\text{m}) = maximální hodnota výchylky

Kmitavý pohyb získáme promítnutím rovnoměrného pohybu po kružnici na kolmou rovinu

Graf závislosti okamžité výchylky na čase je sinusoida

Pravoúhlý průmět průvodiče do svislé osy je výchylka

sin⁡(φ)=yry=ymsin⁡(ωt)\begin{align*} \sin(\varphi) &= \frac{y}{r} \\ y &= y_\text{m} \sin(\omega t) \end{align*}

r⃗\vec{\mathbf{r}} ... polohový vektor, průvodič

ω\omega ... úhlová frekvence (úhlová rychlost)

φ\varphi ... úhlová dráha →ωt\to \omega t ... fáze kmitavého pohybu

Pravoúhlý průmět vektoru okamžité rychlosti do svislé osy je vektor okamžité rychlosti kmitavého pohybu

cos⁡(φ)=vyvvy=ω⋅ymcos⁡(ωt)\begin{align*} \cos(\varphi) &= \frac{v_y}{v} \\ v_y &= \omega \cdot y_\text{m} \cos(\omega t) \end{align*}

Pravoúhlý průmět vektoru dostředivého zrychlení do svislé osy je vektor okamžitého zrychlení kmitavého pohybu

sin⁡(φ)=ayaday=−ω2⋅ymsin⁡(ωt)ay=−ω2⋅y\begin{align*} \sin(\varphi) &= \frac{a_y}{a_d} \\[0.5em] a_y &= -\omega^2 \cdot y_\text{m} \sin(\omega t) \\ a_y &= -\omega^2 \cdot y \end{align*}

Vzorec obsahuje znaménko −-, protože vektor okamžitého zrychlení kmitavého pohybu má opačný směr ke směru vektoru okamžité výchylky

φ0\varphi_0 ... počáteční fáze kmitavého pohybu

t=0  ⟹  y=ymsin⁡(φ0)t = 0 \implies y = y_\text{m} \sin(\varphi_0)

Počáteční výchylka závisí na fázi kmitavého pohybu

y=ymsin⁡(ωt+φ0)vy=ω⋅ymcos⁡(ωt+φ0)ay=−ω2⋅ymsin⁡(ωt+φ0)\begin{align*} y &= y_\text{m} \sin(\omega t + \varphi_0) \\ v_y &= \omega \cdot y_\text{m} \cos(\omega t + \varphi_0) \\ a_y &= -\omega^2 \cdot y_\text{m} \sin(\omega t + \varphi_0) \end{align*}

Synchronně kmitající kyvadla = kyvadla se stejnou periodou, frekvencí a okamžitou výchylkou ve všech časech

Je-li Δφ0\Delta \varphi_0 dvou oscilátorů roven (2k+1)π(2k + 1)\pi pro nějaké k∈Zk \in \Z, pak kmitají oscilátory s opačnou fází

Je-li Δφ0\Delta \varphi_0 dvou oscilátorů roven 2kπ2k\pi pro nějaké k∈Zk \in \Z, pak kmitají oscilátory se stejnou fází

Fázory

Fázor = rotující vektor

Značí se velkým tiskacím písmenem pod šipkou – např. Y⃗\vec{Y}

Fázor při pohybu po kružnici jednoznačně určuje výchylku kmitavého pohybu

Skládání kmitavých pohybů

Platí princip superpozice – jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých pohybů téhož směru s okamžitými výchylkami y1,y2,...,yny_1, y_2, ..., y_\text{n}, je výsledná výchylka celkového pohybu dána součtem výchylek jednotlivých pohybů (y=∑i=1nyiy = \sum_{i = 1}^n y_i)

Skládání kmitání závisí na frekvenci, amplitudě a počáteční fázi jednotlivých složek

Výsledné kmitání je periodické, může mít složitý průběh

Nejjednodušší složené kmitání získáme složením 2 izochronních kmitů, toto kmitání je harmonické a periodické

Izochronní kmity jsou kmity o stejné frekvenci

Při skládání kmitů velmi podobných frekvencí se výsledné kmitání periodicky zesiluje a zeslabuje (obálkou výsledné křivky je sinusoida)

Pružina

Na těleso zavěšené na pružince působí tíhová síla FGF_\text{G}

Prodloužením pružiny vzniká síla pružnosti FpF_\text{p}

FG=m⋅gFp=k(l−l0)=k⋅Δl\begin{align*} F_\text{G} &= m \cdot g \\ F_\text{p} &= k(l - l_0) \\ &= k \cdot \Delta l \end{align*}

kk ... tuhost pružiny

Tuhost pružiny je určena silou při natažení pružiny o 1 metr

V rovnovážné poloze platí:

Fv=0=FG−FpFG=Fpm⋅g=k⋅Δl\begin{align*} F_\text{v} &= 0 \\ &= F_\text{G} - F_\text{p} \\ F_\text{G} &= F_\text{p} \\ m \cdot g &= k \cdot \Delta l \end{align*}

Po vychýlení závaží do vzdálenosti yy platí:

Fv=−kyF_\text{v} = -ky

Frekvence a perioda pružinového oscilátoru

Fv=m⋅a  ⟹  a=Fvm=−kmy=−ω2y(2πf)2=kmf=12πkmT=2πmk\begin{align*} F_\text{v} &= m \cdot a \\ \implies a &= \frac{F_\text{v}}{m} \\ &= -\frac{k}{m} y \\[0.5em] &= -\omega^2 y \\ (2\pi f)^2 &= \frac{k}{m} \\[0.5em] f &= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \\[0.5em] T &= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \end{align*}

Matematické kyvadlo

= Hmotný bod zavěšený na nehmotném závěsu

Funguje pouze pro malé úhly závěsu:

α≤5°\alpha \le 5°

α\alpha ... úhel závěsu

ll ... délka závěsu

V okolí nuly platí:

sin⁡(α)≈α≈tan⁡(α)\sin(\alpha) \approx \alpha \approx \tan(\alpha)

Perioda závisí na ll

V kružnici platí:

φ=lr\varphi = \frac{l}{r}

rr ... poloměr

ll ... délka oblouku

Fp=FG⋅yl=mg⋅ylm⋅y⋅ω2=mg⋅ylω2=glf=12πglT=2πlg\begin{align*} F_\text{p} &= F_\text{G} \cdot \frac{y}{l} \\[0.5em] &= \frac{mg \cdot y}{l} \\[1em] m \cdot y \cdot \omega^2 &= \frac{mg \cdot y}{l} \\[0.5em] \omega^2 &= \frac{g}{l} \\[1em] f &= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \\ T &= 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \end{align*}

Pružina – pokračování

Mechanická energie pružinového oscilátoru

Maximální kinetická energie pružnosti:

Ek=12mv2=12m(ω⋅ymcos⁡(ωt))2\begin{align*} E_\text{k} &= \frac{1}{2} m v^2 \\[0.5em] &= \frac{1}{2} m \left( \omega \cdot y_\text{m} \cos(\omega t) \right)^2 \end{align*}

Maximální potenciální energie pružnosti:

W=Fp⋅ymFp=12kymEp=W=12kym2\begin{align*} W &= F_\text{p} \cdot y_\text{m} \\ F_\text{p} &= \frac{1}{2} k y_\text{m} \\[0.5em] E_\text{p} = W &= \frac{1}{2} k y_\text{m}^2 \end{align*}

Celková energie pružnosti v libovolné poloze:

Ec=Ek+Ep=12mv2+12ky2\begin{align*} E_\text{c} &= E_\text{k} + E_\text{p} \\ &= \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k y^2 \end{align*}

Důkaz, že EcE_\text{c} je stejná ve všech polohách:

Ek=12mv2=12mω2ym2cos⁡2(ωt)=12kym2cos⁡2(ωt)Ep=12kym2sin⁡2(ωt)Ec=Ep+Ek=12kym2(sin⁡2(ωt)+cos⁡2(ωt))=12kym2\begin{align*} E_\text{k} &= \frac{1}{2} m v^2 \\[0.5em] &= \frac{1}{2} m \omega^2 y_\text{m}^2 \cos^2(\omega t) \\[0.5em] &= \frac{1}{2} k y_\text{m}^2 \cos^2(\omega t) \\[1em] E_\text{p} &= \frac{1}{2} k y_\text{m}^2 \sin^2(\omega t) \\[1em] E_\text{c} &= E_\text{p} + E_\text{k} \\ &= \frac{1}{2} k y_\text{m}^2 \left( \sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) \right) \\[0.5em] &= \frac{1}{2} k y_\text{m}^2 \end{align*}

Tlumené a nucené kmitání

Tlumené kmitání = reálné kmitání – zmenšuje se amplituda, prodlužuje se perioda

Příklady žádoucího tlumení:

  • Ručičky měřících přístrojů
  • Pérování automobilů

Příklady nežádoucího tlumení:

  • Kyvadlové hodiny
  • Metronom

Nechceme-li, aby bylo kmitání tlumené, musíme kmitání nutit (= nahradit ztráty vzniklé při kmitání) →\to nucené kmitání

Nucené kmitání: energii dodáváme buď během celé periody, nebo jen během jednoho okamžiku

U nucených kmitů oscilátoru můžeme oscilátor nutit kmitat s frekvencí jinou, než je jeho frekvence vlastní

Spřažená kyvadla – první kyvadlo se nazývá oscilátor, druhý rezonátor – vazba může být volná (→\to pomalý přenos energie) nebo pevná (→\to rychlejší přenos energie)